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Reprenant,  à  son  insu,  une  idée  émise  par  Cauchy  dans 
ses  Sept  leçons  de  physique  générale  (1833,  publiées  par 
Moigno  en  1868),  il  fonde  toute  la  géométrie  sur  la 
notion  d'intervalle  ou  de  distance  de  deux  points.  Nous 
avons  eu  la  primeur  de  cette  théorie,  vraiment  philoso- 
phique de  la  science  de  l'espace  :  en  février  1876,  deux 
ans  avant  la  publication  de  Y  Essai,  De  Tilly  nous  fit  un 
exposé  oral  au  tableau  noir  de  ses  principes  fondamen- 
taux, en  deux  séances  de  deux  à  trois  heures  chacune. 
Trois  axiomes  ou  postulats  irréductibles,  nécessaires  et 
suffisants,  forment  la  base  de  la  géométrie.  Le  premier 
est  l'axiome  de  la  distance  :  La  distance  entre  deux 
points  varie  d'une  manière  continue  en  commençant  par 
croître;  les  propriétés  des  points  de  l'espace  sont  des 
relations  entre  les  distances.  D'après  le  second  axiome, 
qui  n'est  pas  indispensable,  la  distance  de  deux  points 
peut  croître  indéfiniment;  il  exclut  la  géométrie  rieman- 
nienne  ou  doublement  abstraite.  Enfin,  le  troisième 
axiome,  qui  est  aussi  un  axiome  de  simplification,  non 
indispensable  non  plus,  est  celui  de  la  parallèle  unique; 
il  exclut  la  géométrie  lobatchefskienne,  ou  géométrie 
abstraite.  La  géométrie  euclidienne  repose  donc  sur  ces 
trois  axiomes  ;  la  géométrie  abstraite  sur  le  premier  et 
le  second;  la  géométrie  doublement  abstraite  sur  le 
premier  seul. 
«  On  peut  définir  la  position  d'un  point  de  l'espace 
avec  une  approximation  indéfinie,  dit  Hoûel  dans  le 
rapport  imprimé  en  tête  de  l'Essai,  en  concevant 
l'espace  rempli  par  trois  systèmes  de  surfaces  dont  on 
peut  subdiviser  à  l'infini  les  intervalles,  et  auxquelles  on 
attribuerait  des  numéros  d'ordre.  »  La  distance  des  deux 
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