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points  «  dépend  des  numéros  d'ordre  des  surfaces  qui 
déterminent  les  deux  points  ».  Les  propriétés  intuitives 
de  l'espace  idéalisées  dans  les  définitions  et  les 
axiomes  permettent  de  prouver  qu'il  n'y  a  que  trois 
formes  générales  de  la  relation  analytique  qui  caractérise 
la  distance,  formes  dont  chacune  caractérise  un  des 
trois  systèmes  de  géométrie.  De  Tilly,  dans  le  premier 
chapitre  de  VEssai,  fait  connaître  ces  trois  relations 
caractéristiques,  mais  il  renvoie  au  chapitre  IV  de  son 
livre  pour  en  donner  la  démonstration  complète. 
L'auteur  établit  ensuite  les  propriétés  de  la  rotation 
d'un  système  invariable  autour  d'un  point  fixe,  puis 
autour  de  deux  points  fixes.  La  ligne  droite  est  définie 
indépendamment  du  plan,  puis  après  l'étude  des 
triangles  vient  celle  du  plan,  lieu  décrit  par  une  droite 
tournant  autour  d'une  droite  perpendiculaire,  dont 
De  Tilly  démontre  rigoureusement  les  propriétés  fonda- 
mentales, en  particulier  celle  de  contenir  toute  droite 
qui  y  a  deux  de  ses  points,  sauf  en  géométrie  double- 
ment abstraite.  Le  chapitre  se  termine  par  l'étude  de  la 
droite  dans  le  plan,  en  admettant  l'existence  du  troi- 
sième axiome. 
Ce  chapitre  fondamental  de  VEssai  est  un  chef- 
d'œuvre  d'intuition  géométrique,  non  dans  le  sens 
vulgaire,  mais  dans  le  sens  philosophique.  De  Tilly  suit 
du  regard  de  son  esprit  les  propriétés  des  trois  espaces 
riemannien,  lobatchefskien,  euclidien  avec  une  perspi- 
cacité qui  n'est  jamais  en  défaut.  A  certains  endroits,  le 
lecteur  est  persuadé  que  tout  est  démontré  sur  l'un  ou 
l'autre  point  difficile  et  cependant  l'auteur  prouve  qu'il 
n'en  est  rien,  qu'il  faut  encore  établir  tel  ou  tel  complé- 
