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menl  inattendu  sous  peine  d'admettre  inutilement  un 
nouveau  postulat. 
Le  chapitre  II  est  un  exposé  des  additions  et  modi- 
fications à  introduire  dans  un  traité  de  géométrie  (par 
exemple  dans  celui  de  Rouché  et  Comberousse)  pour  le 
rendre  irréprochable  comme  manuel  de  géométrie  eucli- 
dienne sans  trop  le  compliquer;  en  même  temps, 
l'auteur  indique  sommairement  ce  qui  en  subsiste  et  ce 
que  l'on  doit  y  ajouter  pour  en  faire  un  manuel  de 
géométrie  abstraite  ou  doublement  abstraite.  Le  chapitre 
suivant  est  un  programme  de  trigonométrie  où  les 
formules  fondamentales  sont  démontrées  avec  le  mini- 
mum de  considérations  géométriques.  Ces  deux  cha- 
pitres II  et  III,  tout  comme  le  premier  ouvrage  de  De  Tilly, 
dont  ils  reproduisent  maintes  remarques  excellentes, 
devraient  être  étudiés  par  tous  ceux  qui  écrivent  sur  les 
éléments  de  la  géométrie  ou  de  la  trigonométrie. 
Le  chapitre  IV,  intitulé  :  Trigonométrie  générale,  est,  au 
point  de  vue  scientifique,  aussi  important  que  le  pre- 
mier. L'auteur  y  définit  avec  rigueur,  en  géométrie 
générale,  les  fonctions  trigonométriques  (n»  5)  et  y 
démontre  (n^  22),  avec  un  peu  trop  de  brièveté,  il  est 
vrai,  le  principe  d'où  il  fait  sortir  toutes  les  propriétés 
analytiques  des  espaces  riemannien,  lobatchefskien  et 
euclidien.  Il  termine  par  les  formules  qui  donnent  la 
distance  de  deux  points,  dans  les  trois  espaces,  en 
fonction  des  coordonnées.  Ces  coordonnées  sont  mieux 
choisies  que  celles  de  Lobatchefski  et  de  Flye  Sainte- 
Marie,  parce  qu'elles  sont  symétriques  par  rapport  aux 
trois  axes,  sans  être  celles  qui  donnent  les  formules  les 
plus  simples  pour  les  distances  ;  mais  rien  de  plus  facile 
que  de  déduire  des  résultats  obtenus  par  De  Tilly  tout 
