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généralisation  de  l'équation  de  Riccati,  D''y  =  yx'^,  peut 
s'intégrer  non  seulement  quand  m  est  entier  positif 
(Kummer),  ou  négatif  et  inférieur  k  (—  2«),  mais  si  m  est 
quelconque,  on  peut  en  trouver  au  moins  une  solution 
par  un  procédé  fondé  sur  une  remarque  de  Boussinesq 
et  une  méthode  due  à  Kummer  :  l'indice  n  se  réduit  à 
{n  ou  î(w-}-  1).  La  méthode  ne  réussit  pas  appliquée  à 
y''=yFx.  Ce  premier  mémoire  de  De  Tilly  [72]  se  termine 
par  l'annonce  de  plusieurs  des  résultats  établis  dans  le 
troisième  [78],  qui  contient  d'ailleurs  ceux  qui  sont 
donnés  dans  le  second  [76]. 
Dans  le  mémoire  sur  les  équations  différentielles 
linéaires  du  second  ordre  [78],  De  Tilly  obtient  de  nom- 
breux théorèmes  sur  la  possibilité  de  l'intégration  au 
moyen  d'une  transformation  unique.  Dans  cette  équation 
linéaire î/''=î/Fa;  +  (çic,  il  pose  x  =  fu,y  =  v  \/pu-{-gu 
et  obtient  une  équation  nouvelle  du  second  ordre,  en 
u,  i;,  D2y.  Il  déduit  de  là  les  théorèmes  suivants  :  On 
pourrait  intégrer  toutes  les  équations  linéaires  du 
second  ordre,  si  l'on  savait  déduire  l'intégrale  générale 
de  l'équation  y''  =  Xy  où  X  ne  contient  pas  y,  !<>  de  l'in- 
tégrale supposée  connue  de  y''  =  kXy;  X  contient  k  si  k 
est  littéral;  2»  des  intégrales  supposées  connues  de 
y''  =  Xy-\-\]y,  i/''  =  Xî/ +/cUî/,  U  étant  une  fonction 
déterminée  de  x  ou  une  constante  :  X  contient  k  et  II  si 
ces  quantités  sont  des  constantes  littérales  ;  S'*  de  l'inté- 
grale supposée  connue  de  y''  =  Xy  +  U.  L'auteur  tire  de 
nombreuses  conséquences  de  ces  théorèmes  en  donnant 
à  F,  cp  ou  gr  des  formes  particulières.  —  De  Tilly  a  essayé 
d'intégrer  l'équation  linéaire  du  second  ordre  dans  le 
même  mémoire  par  cinq  autres  procédés  dont  il  est 
