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[90,  91],  dont  il  faut  rapprocher  quelques  notes  relatives 
aux  premiers  principes  de  la  géométrie  synthétique 
[99,  103,  104,  105].  Dans  la  première  de  ces  notes,  il 
démontre  très  simplement  que  la  somme  des  angles 
dans  un  triangle  riemannien  est  supérieure  à  deux 
droits;  dans  les  autres,  il  établit  complètement  le  théo- 
rème de  Legendre  généralisé  :  Si  un  seul  triangle  a  la 
somme  de  ses  angles  égale,  inférieure  ou  supérieure  à 
deux  droits,  il  en  est  de  même  pour  tous  les  triangles; 
quand  la  somme  des  angles  est  différente  de  deux 
droits,  l'aire  du  triangle  est  proportionnelle  à  la  diffé- 
rence entre  cette  somme  et  deux  droits.  La  démonstra- 
tion est  faite  en  supposant  que  les  grandeurs  géomé- 
triques varient  d'une  manière  continue,  hypothèse  sans 
laquelle,  nous  écrivait  De  Tilly,  on  ne  peut  pas  aller  bien 
loin  en  géométrie. 
L'Essai  de  1892  est  un  travail  beaucoup  plus  impor- 
tant. En  terminant  son  rapport  à  la  Société  des  sciences 
physiques  et  naturelles  de  Bordeaux  sur  VEssai  de  1878, 
Hoûel  avait  dit  :  «  Par  l'insertion  de  ce  travail,  la  Société, 
dans  l'espace  de  douze  ans,  aura  fait  connaître  à  la 
France  l'alpha  et  l'oméga  de  la  nouvelle  géométrie. 
Lobatchefski,  le  premier  révélateur  de  cette  doctrine,  a 
été  dépassé.  Nous  croyons  que  les  conceptions  de 
M.  De  Tilly  ne  seront  pas  dépassées  de  sitôt.  »  Houel 
s'est  trompé,  car  De  Tilly  s'est  surpassé  lui-même  en 
écrivant  VEssai  de  géométrie  analytique  générale. 
Ses  réflexions  l'avaient  conduit  peu  à  peu  à  une 
conception  plus  profonde  de  l'ensemble  des  questions 
relatives  aux  principes  de  la  géométrie.  Gomme  nous 
l'avons  dit,  l'idée  fondamentale  de  son  nouveau  mémoire 
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