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se  trouvait  énoncée  sous  une  forme  très  brève  dans  une 
note  de  son  discours  du  16  décembre  1887  :  Il  existe  une 
relation  entre  les  dix  distances  de  cinq  points;  elle  n'est 
pas  la  même  dans  les  divers  systèmes  de  géométrie; 
elle  contient  le  paramètre  caractéristique  de  la  géo- 
métrie réelle  et  permet  de  le  déterminer  si  l'on  peut 
mesurer  les  distances  avec  une  exactitude  indéfinie. 
Cette  relation  a  été  donnée  par  Lagrange  en  1773  pour 
la  géométrie  euclidienne  et  mise  sous  une  forme  extrê- 
mement élégante  par  Cayley  en  1841.  En  1870  et  en  1873, 
Schering  a  fait  connaître  la  relation  relative  aux  deux 
géométries  non  euclidienne,  sans  dire  comment  il  y  est 
arrivé. 
C'est  de  ces  relations  que  De  Tilly  fait  sortir  la 
géométrie  tout  entière  dans  V Essai  de  1892.  Comme 
dans  son  livre  de  1878,  il  observe  d'abord  que  toutes  les 
vérités  de  la  géométrie  peuvent  se  réduire  en  dernière 
analyse  à  des  relations  entre  les  dislances  :  les  autres 
idées  géométriques,  angle,  aire,  volume,  ne  sont  que 
conventionnelles,  tandis  que  la  distance  ou  l'intervalle 
entre  deux  points  est  une  notion  première  irréductible. 
Ces  relations  elles-mêmes  dépendent  d'une  seule  rela- 
tion entre  «  points,  n  surpassant  de  deux  unités  le 
nombre  des  dimensions  de  l'espace;  comme  le  prouve 
l'expérience,  w  =  5. 
La  relation  fondamentale  existe  donc  entre  les  dix 
distances  de  cinq  points.  Mais  elle  n'est  pas  arbitraire  : 
elle  doit  être  telle  qu'elle  subsiste  pour  chaque  groupe 
de  cinq  points  de  l'espace,  ce  qui  implique  qu'elle  vérifie 
un  théorème  que  l'on  peut  appeler  la  condition  des  six 
points.  C'est  ce  qui  arrive  tant   pour  la  relation  de 
