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Lagrange  que  pour  celle  de  Schering,  même  si  l'on 
remplace  toutes  les  distances  considérées  par  une  même 
fonction  de  ces  distances.  La  démonstration  faite  en 
introduisant  dans  les  calculs  certaines  coordonnées 
définies  d'une  manière  purement  analytique  à  partir  de 
la  notion  même  de  distance,  est  rejetée  à  la  fin  du 
mémoire  dans  une  note  très  étendue;  elle  s'appuie 
essentiellement  sur  l'idée  de  la  continuité  des  quantités 
considérées.  La  condition  des  six  points  ne  peut 
d'ailleurs  être  vérifiée  que  pour  les  relations  de  Lagrange 
et  de  Schering,  comme  le  prouve  l'auteur  dans  une 
autre  note  (la  quatrième)  empruntée  en  substance  à  ses 
Études  de  mécanique  abstraite. 
Les  coordonnées  introduites  dans  la  démonstration  de 
la  condition  des  six  points  permettent  d'établir  l'équa- 
tion de  la  ligne  droite  sous  la  forme  classique  aussi  bien 
en  géométrie  non  euclidienne  qu'en  géométrie  ordinaire, 
et,  par  suite,  l'auteur  peut  démontrer  avec  la  plus  grande 
facilité  les  propriétés  de  la  droite  et  du  plan,  d'une 
manière  générale. 
Observons  toutefois  que  la  démonstration  de  l'une  de 
ces  propriétés,  celle  qui  se  rapporte  à  la  mesure  de  la 
longueur  de  la  droite  et  où  intervient  nécessairement 
le  calcul  intégral,  suppose  des  calculs  assez  ardus.  Ils 
sont  peut-être  trop  abrégés  dans  le  mémoire.  Il  en  est 
probablement  de  même  des  raisonnements  au  moyen 
desquels  De  Tilly  établit  la  vraie  valeur  du  maximum 
de  la  distance  de  deux  points  en  géométrie  rieman- 
nienne.  Heureusement  que  des  considérations  élémen- 
taires permettent  d'arriver  autrement  à  ces  résultats. 
L'auteur  termine  son  mémoire  en  indiquant  avec  pré- 
