(  2o9  ) 
Dans  son  discours  de  liiOl,  De  Tilly  a  aussi  exposé,  en 
la  précisant,  sa  découverte  sur  la  conciliation  du  déter- 
minisme avec  le  libre  arbitre.  Il  fait  remarquer  avec 
raison  que  les  partisans  du  déterminisme  absolu 
admettent,  sans  s'en  douter,  un  postulat  de  mécanique, 
que  d'aulres  confondent  ce  déterminisme  avec  la  con- 
stance de  certaines  grandeurs  considérées  en  cosmologie 
générale. 
La  première  partie  de  ce  discours  à  l'Académie  fut 
consacrée  à  la  géométrie.  Il  y  résuma  l'ensemble  de  ses 
travaux,  réfuta  une  vue  inexacte  de  Russell  sur  la  notion 
d'angle  et  indiqua  avec  précision  ce  qu'il  faudrait 
prouver  pour  établir  la  proposition  de  M.  Lechalas  sur 
l'identité  des  plans  riemanniens  avec  les  sphères  eucli- 
diennes. Dans  deux  articles  de  Mathesis  [ll7,  120],  il 
résolut  par  l'analyse,  pour  la  géométrie  euclidienne  ou 
riemannienne,  directement  pour  la  géométrie  lobatchef- 
skienne,  une  difficulté  qui  n'existe  vraiment  que  dans  le 
plan.  Les  philosophes  l'ont  appelée,  en  stéréométrie,  où 
elle  est  facile  à  expliquer,  le  paradoxe  de  Kant  sur  les 
objets  symétriques.  Dans  un  autre  article  [125],  il 
démontra  par  des  raisonnements  élémentaires,  mais 
d'une  grande  complication,  il  est  vrai,  le  postulat  d'Eu- 
clide  sur  l'égalité  des  angles  droits  et  il  établit 
l'existence  du  plan  autrement  que  dans  Y  Essai  de  1878. 
Ce  dernier  travail  de  De  Tilly,  comme  le  premier  publié 
quarante-six  ans  auparavant,  porte  donc  sur  Les  pre- 
miers 'principes  de  la  géométrie;  il  témoigne  ainsi  de  la 
profonde  unité  de  sa  pensée.  Il  y  a  adopté,  comme 
point  de  départ,  le  procédé  élémentaire  d'exposition  que 
nous  avions  déduit  de  ses  travaux.  Nous  avons  été  heu- 
