PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Les Identités fondamentales 
de la Gravifique, 
par TH. DE DONDER. 
Dans trois Notes récentes (*) nous avons généralisé les 
identités indiquées, sans démonstration, par David Hilbert (*}: 
Nous allons développer 1c1 trois procédés différents permettant 
de trouver ces identités généralisées. Nous partirons toujours 
de la définition d’un multiplicateur 4 par rapport à un.changez 
ment quelconque des variables æ,, &,, æ, et x,, et nous utilisez 
rons systématiquement les transformations infinitésimales de 
Sophus Lie: nous obtenons ainsi l'identité (9’). A partir de 
celle-ci, on peut suivre trois méthodes différentes de calcul; la 
première consiste à égaler, dans l'identité (9), les coefficients 
des X,,:, X,2,, ete., puis à dériver et à sommer les identités£ 
ainsi obtenues. Cette méthode est très élémentaire, mais elle 
exige de longs calculs. On peut procéder, à partir de l'identité 
(9°), d’une autre manière : on remplace les dérivées des À,, À, ; 
par rapport à }, par leurs valeurs provenant de la variance dés 
…, puis on intègre par parties; enfin, grâce à une 
intégrale étendue à une sphère euclidienne tendant vers un point 
quelconque (son centre), on obtient les identités fondamentalé« 
cherchées; les calculs sont moins longs; cependant, les intégra: 
tions par parties sont assez pénibles. Enfin, dans une troisièmes 
manière de conduire les calculs, ceux-ci se réduisent à peu des 
(*) Voir Comptes rendus Acad. Sc. Paris, séances des 11 et 95 juin 1993 etdu 
23 juillet 1993. 
(*) Voir Goetting. Nachrichten ; novembre 1915. — Voir aussi The mathematierl 
Theory of Relativity de A.-S. EopiNGron. (Cambridge, 1993, p. 140.) 
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