A. Demoulin. — Sur un groupe de huit surfaces. 
sept équations (e,), (e,), (es), (63), (e3:), (6,2), (E). Nous allons 
démontrer que la surface S dont les fonctions de Lelieuvre sont 
les solutions Q,, Q,, Q, de l'équation (E) est la polaire de la 
surface s par rapport à la sphère F de rayon VE qui a pour 
centre l’origine O des coordonnées. 
En vertu d'un résultat énoncé au n° 8 (mém. M), les coor- 
données X, YŸ, Z du point M qui décrit la surface S ont pour 
Valeurs À,,, À:,, A,,. Ces quantités se calculent au moyen de la 
formule (12} (mém. M), et l’on trouve, en tenant compte de (2), 
3) X EE eZ — 1 rs — 1 , 
6 D D OS  Oiln + dy + de O® + 0,7 + 02? 
‘d'où 
(4) Xa + NYy + Z3+1— 0. 
Les formules (3) montrent que OM est parallèle à la normale 
à la surface s en m. D'autre part, en vertu de (4), M est dans 
le plan polaire de m par rapport à la sphère F. Par suite, les 
surfaces S et s sont polaires réciproques par rapport à cette 
sphère. c. Q. F. D. 
2. Calculons Q,, 4,, Q,. Ces fonctions sont données par le 
système suivant, que fournit le système (10) (mém. M) : 
ty Q + an 03 = 0, 
dy Q; + a» Q = 0, 
QsQ, + 030, = 0; 
3 
(à) }2 G); Q, =: 1. 
| i—1 
On déduit de là, en tenant compte de (2), 
(6) O, #4 O, BE de | Le 1 
| d y & Dig + Ooly + Dsly OT + y + 032 
Soient c;, C:, c; les cosinus directeurs de la normale à la sur- 
A . . 
face s en m, p la distance du point O au plan tangent en ce 
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