GÉOMÉTRIE. — Sur les surfaces du quatrième ordre 
possédant quatre points doubles uniplanaires 
ordinaires, 
par L. GODEAUX, professeur à l’École militaire (*). 
Dans les nombreuses études consacrées aux surfaces dt 
quatrième ordre possédant des points doubles en nombre fini, 
les points doubles considérés sont des points coniques (**). N64 
études sur les involutions nous ont conduit à considérer le cas 
des points doubles biplanaires ordinaires et des points doubles 
biplanaires auxquels sont infiniment voisins des points doubles 
coniques ("”*). Dans cette note, nous nous proposons d'étudier 
la surface du quatrième ordre possédant quatre points doubles 
uniplanaires ordinaires. Nous commencerons par former l’équa- 
tion d'une telle surface, ce qui nous permettra d’en déduire 16 
propriétés essentielles. 
1. — Soit F une surface du quatrième ordre possédant quatre 
points doubles uniplanaires ordinaires A,, A,, A,, A,. Supposons 
en premier lieu que ces points forment un tétraèdre proprement 
dit. Nous prendrons ce tétraèdre comme figure de référence. 
Les coordonnées homogènes seront x,, &,, æ,, æ, et le an | 
aura toutes ses coordonnées nulles, sauf x. 
La surface F passant doublement par les sommets du tétraèdre 
de référence, son équation ne peut contenir de termes en x, dŸ, 

(*) Impression décidée en séance du 5 juillet 1924. 
(**) Pour un exposé de ces recherches, voir JEssoP, Quartic surfaces with singular 
points. Cambridge, 1916. 
(7) Sur les surfaces du quatrième ordre possédant six points doubles biplanaires 
ordinaires. BULL. DE L’ACAD. ROY. DE BELG., 1922; Sur les involutions cycliques 
d'ordre quatre appartenant à une surface de genres un (seconde communication). M 
BULI. DE L’ACAD. ROY. DE BELG., 1993. 
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