Godeaux. — Sur les surfaces du quatrième ordre 

3. — La surface F est rencontrée par le plan x, — 0 suivant 
la conique 
9 — 0, x, = 0, 
comptée deux fois. En d’autres termes, ce plan touche la surface 
suivant une conique. 
D'après ce qui a été trouvé plus haut, cette conique passe par 
les points doubles infiniment voisins de À,, A., À,, situés dans 
le plan 0; 
Æ.— Supposons maintenant que les quatre points A, , A,, A,,4 
puissent se trouver dans ce même plan +. Comme tout plan 
passant par À; coupe la surface F suivant une courbe ayant un 
point cuspidal en A,, le plan + doit couper F suivant une 
courbe du quatrième ordre possédant quatre points cuspi 
daux À,, À;, À,, À, ; cette courbe dégénère donc. Elle ne peut 
contenir une conique passant par les quatre points considérés: 
elle doit donc être formée de droites, et les deux droites passant 
par un des points À,, A,, A,, À, doivent être confondues. Il en 
résulte que le plan « touche F suivant deux droites, chacune de 
celles-ci contenant au moins deux des points À,, A,, A, A,. 
Soit d une de ces droites; supposons qu'elle coupe les 
points À,, A,. Les plans passant par d contiennent la surface F 
suivant les courbes formées de d et de cubiques planes tangentes 
à d'en À,, À, (puisque A,, A, doivent être des points cuspidaux 
pour ces sections ‘planes). Il en résulte que ces cubiques con: 
tiennent la droite d; celle-ci est donc double pour la surface FR 
5. — En résumé, 
St une surface F, d'ordre quatre, possède quatre pointsk 
doubles uniplanaires ordinaires, sans autre singularité, ces 
quatre points forment un tétraèdre proprement dit. Les faces dem 
ce tétraèdre touchent la surface F suivant des coniques. Sur ch&w 
cune de ces coniques, il y a un point double de La surface infini 
ment voisin de chacun des sommets du tétraëdre. + 
La 
E 
— 420 — 
