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Godeaux. — Sur les surfaces du quatrième ordre 
9. — Les formules 
La: Lo? Lg à D = YoYaYa * YsYaYa * YaYaU2 * Yes (4) 
définissent une transformation birationnelle involutiveb, obtenue 
en rapportant projectivement aux plans de l’espace les surfaces 
cubiques passant par les arêtes du tétraèdre A, A, A,A,. 
La transformation 6 fait correspondre à la surface F la sur- 
face F° d'équation 
(@eYaÿa + AisloYa + ados + Qesaa + dois + daliYe) Aya — 0, 
c’est-à-dire une surface de même nature. Ecrivons cette équa- 
tion sous la forme 
LD (A Dos Des La) P + tt = 0, 
en revenant aux coordonnées courantes. 
La courbe d'ordre 16, commune aux surfaces F, F', est 
située sur la surface 
i 
Elle est donc formée de deux courbes du huitième ordre; 
situées respectivement sur les quadriques 
PH 0, CEE 
Ces courbes passent doublement par chacun des points A; 
À,, À., À, et touchent en un même point, simple pour F et F« 
chacune des faces du tétraèdre formé par ces quatre points. 
La forme des équations de F, F' montre que si une surface F 
est transformée en elle-même par la transformation 6, on a 
yo — Usa, 3 = Ug; ia — ose 
Son équation s'écrit donc 
Lo (Lao + La) + Us (Male + Lola) + Au (Mid4 +- Los) P + Mol 3% = 0: 
Nous allons rencontrer ces surfaces dans un instant. 
10. — Cherchons si une surface F peut posséder un point 
double (z,, 2,, , 2,) en dehors des quatre points A,, À,, A%4 
arme Vus 
