Godeaux. — Sur les surfaces du quatrième ordre 


Aucun des coefficients &,,, 4,3, 4,, ne pouvant être nul sans 
que la surface F acquiert une droite double, on a 
Ras = Boy; Lake = Raky, 
et, de même, 
Bata = one 
On en déduit 
3 9 
t9 to 
HT 
Le point double peut donc être l’un des points 
(1, 1 « à 21) (1, « #4 NE à qd, ere 1), CE Lu 1, Æ er 1), (1, TE 1 2 b 1} 
c’est-à-dire un des quatre points invariants de la transfor- 
mation 8. 
On a d’ailleurs 
= 
= —([p (af 
Si la surface F possède un cinquième point double, sans 
acquérir de ce fait une droite double, elle est invariante pour la 
transformation 4 et le point double est un des points invariants 
pour cette transformation. | 
11. — D'après ce qui précède, si la surface F possède, 
outre A,, A,, A, A,, deux points doubles (ordinaires), ces 
points doivent être invariants pour 8. La seule condition à 
remplir sera d'obtenir la même valeur pour }, c'est-à-dire! 
pour & (z) en deux des points considérés. Il est facile de voir 
que cela porte la condition que deux des trois quantités af 
a, 4, sont égales en valeur absolue (une de ces quantités me 
pouvant être nulle sans que la surface acquière une droite 
double). Par exemple, en exprimant que la surface F doit 
posséder les points doubles (1, 1, 4, 4), (4, 1, — 1, — 1),.0n 
trouve 
Que (A3 + da) = 0; 
d'où, puisque l’on doit écarter a,, — 0, 
ds + y = 0. 
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