possédant quatre points doubles uniplanaires ordinaires. 
| ——— 

S1 la surface F doit posséder trois points doubles supplé- 
| mentaires, sans acquérir de droite double, on trouve que &,,, 
4;;, a, doivent être égaux en valeur absolue. 
Par exemple, la surface F, ayant les points doubles 
D) (1, 1, 1, — 1), (1, 4! 1. 1), est 
donnée par | 
| Ayo — 3 — 
et a pour équation 
(dite + Lits + Aid, + 2 + 2, + Lsla) — 36ML,23%, — 0. 
Elle est irréductible, car elle n’admet pas de courbe double. 
Il existe des surfaces F irréductibles, possédant deux ou trois 
points doubles en dehors des points A,, A, À;, À,, sans acquérir 
‘de courbe double. 
12. — Nous terminerons par la définition d’une transformée 
birationnelle de la surface F située dans un espace linéaire à 
cinq dimensions S.. 
In Rapportons projectivement les quadriques passant par A,, 
À;, À,, À, aux hyperplans de S-. À cet effet, posons 
Mo OX _ Xu Xe Xu  Xs (4) 
Tats Mls D Lls Lt LT, 



ebprenons les X comme coordonnées homogènes de S... 
À l’espace à trois dimensions Z contenant les quadriques 
correspond dans S. une variété V4 d'équations 
| 
| XX 3 ra XX 24 FE X use (2) 
Cette variété est donc d'ordre quatre et la correspondance 
ntre Z et Vi est donc birationnelle. 
À la surface F correspond, sur V4, la surface d'ordre huit 
lécoupée par l’hyperquadrique 
Xe + GsXys + GuXas + GX os + GX os + duXs) + AXyX gs = 0. (8) 
Observons qu'aux droites 
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= 

