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L. Godeaux. — Sur les involutions régulières d'ordre deux 

complet |C;|, irréductible, dépourvu de points-base, transformé 
en lui-même par T, contenant un système linéaire |C,, |, égale: 
ment irréductible et dépourvu de points-base, composé at 
moyen de l'involution [, (*). Les courbes C,, sont des courbes 
totales du système |G} et les systèmes |C,|, |C,,| peuvent 
coïncider. Enfin, on peut supposer la dimension de |C,,! a 
moins égale à trois. 
Aux courbes C,, correspondent, sur ®, des courbes E formant 
un système linéaire simple, dépourvu de points-base et irréduc: 
tible, de même dimension que C,,}. Nous prendrons, comme 
modèle projectif de D, une surface dont les sections hyperplanes 
sont les courbes l. Les points de diramation sur cette sur: 
face ® sont alors des points doubles coniques et sont en nombre 
multiple de # (**). Soit 4 « ce nombre. 
Si nous désignons par n le degré et + le genre du système [F| 
des sections hyperplanes de ®, le système |C,, | et, par suite lé 
système | CG} auront le degré 2n et le genre 2x7 — 1. 
Nous allons montrer que l'on peut choisir le système | C, | dé 
manière à ce que : 

a) Le système |C, soit plus ample que |C,, |; 
b) Les courbes C, appartiennent comme courbes totales à wi 
système continu complet !C}, formé de æ1 systèmes linéaires. 
Si le système |C,\ ne satisfait pas à ces conditions, considé: 
rons le système |1C,|, où X est un entier positif. Le systèm® 
AC, | a le genre 2)(7 — 1) + (1 — 1) n + 1 et le degré 2%! 
Si p, est le genre arithmétique de la surface F, nous pouvons 
prendre } assez grand pour avoir | 

Pa + 2kn— 2 (nm —1)— XD —1)n=p, HQE ljn—2À(x —1 >, 

(*) L. GODEAUx, Recherches sur les iwvolutions douées d'un nombre fini de points 
de coïncidence, appartenant à une surface algébrique. (BULL. DE LA Soc. MATH. DIM 
FRANCE, 1919.) | | | 
(**) L. GoDEAUx, Mémoire sur les Surfaces algébriques doubles ayant un nombre 
fini de points de diramation. (ANNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE TOULOUSE, 
1914.) J 
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