L. Godeaux. — Sur les involutions régulières d'ordre deux 
er 
Le premier membre à une valeur indépendante de }, le 
second membre peut devenir aussi grand que l’on veut lorsque 
À augmente. Nous parvenons donc à une absurdité. Done, pour 
À suffisamment grand, le système |2C,! n’est pas composé at 
moyen de I. 
En résumé, si |C,] ne possède pas les propriétés a), b), on 
peut lui substituer un de ses multiples convenablement choisi, N 
possédant ces propriétés. Nous pouvons donc supposer, en 
changeant éventuellement de notation, que le système | Co! 
Jjouisse des propriétés a), b). 
2. Considérons une courbe quelconque C du système con 
plet ;C{ et soit C' la courbe que T lui fait correspondre sur E 
Lorsque C se déplace d'une manière continue dans {C!et 
vient coïncider avec une courbe de |C,, la courbe C' varie d’une 
manière continue sur F et vient également coïncider avec une 
courbe de !C,|, puisque ce système est transformé en lui-même 
par T. Il en résulte que C' appartient au système continu 
complet ;C{, ou, en d'autres termes, que le système continu 
complet C? est transformé en lui-même par T. 
Soit maintenant V, la variété de Picard attachée à la surface R: 
Il'existe, d'après la définition de cette variété, une correspon- 
dance biunivoque entre les points de V, et les systèmes linéaires 
contenus dans }C}. Un système linéaire de {C! est transformé 
par T'en un système linéaire de !C? (qui peut d’ailleurs coïncider 
avec le premier) ; il en résulte qu'à la transformation T corres- 
pond une transformation birationnelle 6 de la variété V, en 
elle-même. Nous montrerons plus loin que 4 est une transfor 
mation ordinaire de seconde espèce de cette variété. 

3. Soit, si c'est possible, | C, | un système linéaire complet 
de ;C}, distinet de |C,|, transformé en lui-même par T. Cette 
transformation T opère sur les courbes de | C,| comme une 
homographie involutive. Par suite, ou bien le système complet 

