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appartenant à une surface irrégulière. 

|C, | est composé au moyen de l’involution L,, ou bien il contient 
“deux systèmes linéaires partiels composés au moyen de I. Si le 
premier cas se présente, il suffira de remplacer {C! par un de 
“es multiples convenablement choisi pour l’éliminer. (On le 
démontre en répétant le raisonnement fait plus haut pour |C,!|.) 
Nous supposerons donc que |C, | contient deux systèmes linéaires 
partiels !G,,|, !C,,|, composés au moyen de E,. 
Rapportons projectivement les courbes de |C,! aux hyper- 
plans d’un espace de même dimension que ce système. La 


surface F se transforme en une surface F*, en correspondance 
birationnelle avec F. Cette surface F* est transformée en elle- 
même par une homographie involutive qui, d'après ce qui 
précède, possède deux espaces linéaires unis. À tout point de 
«coïncidence de I, sur F correspond un point commun à F* et 
à l'un de ces espaces unis, et réciproquement. Les hyperplans 
passant par ces espaces unis découpent, sur F*, les courbes 
correspondant à C,,, C;,. On en conclut que tout point de 
coïncidence de [, est poimt-base (simple) pour l’un des systèmes 
(Cal Gil. 
Désignons par F,, les courbes qui correspondent, sur ®, aux 
courbes G,,, et par x le nombre de points de coïncidence de E, 
situés sur les courbes C,,. Par la formule de Zeuthen, le genre 

des courbes l',, est égal à r — ; x. Par suite, x doit être mul- 
tiple de #4. Nous poserons x — 42,,, et le nombre des points de 
coïncidence de [, qui sont des points-base de |C,,, sera alors 
ha, — (a — 0,,), #a étant le nombre total des points de coïn- 
cidence de E,. 
Les courbes F,, passent par 44,, points de diramation de ®. 
Rappelons que chaque point de diramation est un point double 
conique équivalent, au point de vue des transformations bira- 
| “onnelles, à une courbe rationnelle de degré — 2 (*). Repré- 
*) L. GODEAUX, Mémoire sur les Surfaces doubles... (LOC. cir. 
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