L. Godeaux. — Sur les involutions regulières d'ordre deux 


sentons par À,, la somme des courbes de cette nature équi 
valentes aux points de diramation par lesquels passent les 
courbes F,,. Chacune de ces courbes est rencontrée en un point 
par les courbes l,,. Nous allons établir une relation fonetion- 
nelle entre les courbes F, l,,, À... 
Considérons une courbe quelconque C de }C{ et soit C’ la 
courbe que T lui fait correspondre. A l’ensemble des courbes CO, 
C' correspond, sur D, une courbe l” de genre effectif 27 — 4, 
présentant n points doubles correspondant aux 2n points com-! 
muns à C et à C’. Lorsque la courbe C varie dans !C}, la 
courbe F” varie dans un système continu qui appartient, puisque 
d est une surface régulière, à un système linéaire complet |F* 
de degré 2n et de genre 2x + n — 1. 
Lorsque C vient coïncider avec une courbe C,,, la courbe R* 
coïncide avec une section hyperplane l de D, comptée deux fois: 
On a donc 
, 


Lorsque C vient coincider avec une courbe C,,, la courbe I* 
coïncide avec une courbe l,,, éomptée deux fois, augmentée 
des 44,, courbes rationnelles infiniment petites composant A 
On a donc 
1° 
et, par suite, 
Si l'on désigne par l,, les courbes de ® qui correspondent 
aux courbes C,,; par A,, la somme des 4z,, courbes rationnelles 
équivalentes aux points de diramation par lesquels passent les 
courbes F,,, on a de même 
AVI, LA 
Æ. Nous allons maintenant montrer que le nombre de 
systèmes linéaires de }C}, transformés en eux-mêmes par T, est 
nécessairement fini. En d’autres termes, la transformation #4 
me 0 = 


