M. Stuyvaert. — Transformations birationnelles. 

d'où l’on tire les y immédiatement; les fonctions © sont 
Y2s Y3 +++ Yns Yis Us +++ Yns CC. Fr 
2 m— 1 fonctions bilinéaires et homogènes en x et en y 
égalées à zéro peuvent être résolues indifféremment par rapport 
aux + et aux y; les fonctions & sont encore des polynômes d’ordre 
n — À; ce sont visiblement les déterminants extraits d’une 
matrice à » — { lignes et n colonnes de formes linéaires en y. 
Il faudrait donc d'abord s'occuper des formes bilinéaires : ce 
sujet a d'ailleurs été traité (voir par exemple le tome III de 
l'Encyclopédie). 
Pour n — 3, les deux exemples ci-dessus sont équivalents, 
CAT YiYo, Y2Yss YaU1 représentent trois coniques dégénérées 
passant par les trois sommets de référence; et la matrice à 
deux lignes et trois colonnes de formes linéaires s’annule aussi 
pour trois points. On sait d’ailleurs que ceci épuise le sujet, en 
ce sens que toute transformation birationnelle où les + sont. 
des polynômes se ramène à des transformations quadratiques 
ou linéaires. 
Pour n — 4, les deux exemples ci-dessus sont loin d'épuiser 
la question et sont différents, car, dans le premier, les © repré- 
sentent des surfaces cubiques à quatre points doubles aux 
sommets du tétraèdre de référence; dans le second ces surfaces 
cubiques ont en commun une courbe du sixième ordre annulant 
la matrice de trois lignes et quatre colonnes de formes linéaires. 
On trouvera cette transformation définie dans notre Algébre à 
deux dimensions (p. 51); l'extension à plus de variables va de. 
soi. Et l’on obtiendra des transformations réversibles si dans les 
équations bilinéaires le coefficient de x,y, est partout égal à 
celui de x,y,. 
La transformation qui fait correspondre un point A à son à 
conjugué harmonique B sur la bissécante d’une cubique gauche 
est un cas particulier de ceci, car elle s'exprime par trois équa=« 
tions bilinéaires, (M. Stuyvaert, Congruences de cubiques À 
gauches, p. 162). 
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