L. Godeaux. — Sur les involutions régulières d'ordre deux 

Supposons, pour fixer les idées, qu'on ait 
[C+Cl=iG+ Cf. (4) 
Considérons les courbes 
Cor + Ci Ce Fu Cas Con +- Le ce me Ce 
Il est facile de voir que les deux premières appartiennent à 
un même système linéaire possédant #a;, points-base, les deux 
secondes à un même système linéaire possédant 4x, points- 
base, ces deux systèmes étant composés au moyen de E, et ces 
points-base étant des points de coïncidence de I. 
De même, les courbes C,, + G,,, Ci> + C>2 appartiennent 
à un système linéaire ayant 4a,, points-base, les courbes 
Ci + Co, Coo + C,, à un système linéaire ayant 4x,, points- 
base, ces systèmes étant composés au moyen de I, et leurs 
points-base étant des points de coïncidence de 1, également. 
Mais, en vertu de la relation fonctionnelle (4), chacun des 
deux premiers systèmes doit coincider avec l’un des derniers. 
On peut donc'écrire a =0,/ 0,10. 

En poursuivant ce raisonnement, on trouve finalement 
Hire Un, Opel (tes LENS SE 
Tous les systèmes continus complets, sur la surface F, conte- 
nant 2271 systèmes linéaires composés au moyen de l’involu- 
ion L,, l’un de ces systèmes étant dépourvu de points-base, se 
comportent de la même manière vis-à-vis des points de coïncidence 
de l’involution. > 
Æ. Il nous sera nécessaire pour la suite de montrer que la 
seconde hypothèse faite plus haut est inadmissible. 
En nous plaçant dans cette hypothèse, nous avons &,, = a}, 
49 —= a. Considérons le système |C, + C'|. 
Les courbes C,, + C!,, C,, + C!, appartiennent à un même 
système linéaire, composé au moyen de Æ,, ayant comme 
points-base tous les points de coïncidence de cette involution. 

