GÉOMÉTRIE. — Sur les involutions régulières d'ordre deux 
appartenant à une surface irrégulière (‘), 
(Troisième note), 
par L. GODEAUX, professeur à l’École militaire. 
Si F est une surface algébrique irrégulière et Ÿ un système 
continu œ! de courbes non équivalentes tracées sur F, on peut, 
par une construction imaginée par M. Severi (""), faire corres- 
pondre à F, dans la variété de Picard V attachée à cette surface, 
soit une courbe, et alors F possède un faisceau irrationnel de 
courbes, soit une surface de même irrégularité que F, et alors F 
est dépourvue de faisceau irrationnel de courbes. Nous utili- 
serons cette construction en partant d’un système Z transformé 
en lui-même par une transformation birationnelle involutive T 
de la surface F en elle-même, génératrice d’une involution 
régulière [,, d'ordre deux, n'ayant qu'un nombre fini de points 
de coïncidence. Cela nous permet de ramener l'étude des 
systèmes de courbes tracées sur F à celle des systèmes de 
courbes tracées sur une surface appartenant à la variété de 
Picard V et transformée en elle-même par une transformation 
de seconde espèce de cette variété. Nous étudions ensuite 
plus particulièrement le cas où l'irrégularité de la surface F 
est égale à deux. 
1. Soit F une surface algébrique d’irrégularité y > 0, possé- 
dant une involution régulière L,, d'ordre deux, n'ayant qu'un 
nombre fini, 4x, de points de coïncidence. Désignons par V, la 
variété de Picard attachée à F, par T la transformation biration- 
nelle de F en elle-même, génératrice de [,, par 9 la transfor- 
(*) Nos deux premières notes sur ce sujet ont paru dans le Bulletin de l’'Acad. 
roy. de Belgique, 1924, pp. 434-446; 1925, pp. 37-47. 
(**) Relazioni tra gl integrali semplici e gl’ integrali multipli di 1" specte di una 
varielà alyebrica. (ANNALI DI MATEMATICA, 1913, t. XX.) 
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