appartenant à une surface irrégulière. 
forment un système continu X, simplement infini, transformé 
en lui-même par T. 
2. Considérons les courbes du système © passant par un 
point déterminé de F. Elles forment une courbe réductible que 
nous désignerons par E. Aux points de F correspondent donc 
ainsi œ° courbes E et ces courbes E appartiennent à un système 
continu x? transformé en lui-même par T. 
Deux cas peuvent se présenter (*) : 
1° Parmi les œ? courbes E, il y en a &! équivalentes à une 
courbe E déterminée : 
2° Parmi les æ? courbes E, il n y en a qu'un nombre fini, », 
équivalentes à une courbe E déterminée. 
Dans le premier cas, 1l existe un faisceau irrationnel ?K} sur 
la surface F et les œæ! courbes E relatives aux points d’une 
courbe K sont équivalentes. Le faisceau irrationnel ! K}? est 
transformé en lui-même par T et 1l lui correspond, sur la variété 
de Picard V,, une courbe K,, transformée en elle-même par 8. 
Les courbes K de ?K}! et la courbe K, sont en correspondance 
birationnelle. 
Dans le second cas, la surface F ne peut posséder de faisceau 
irrationnel de courbes. 
. Observons que le second cas ne peut se présenter si q — 1, 
car alors la variété de Picard attachée à F est une courbe ellip- 
tique V,, et l’on se trouve nécessairement dans le premier cas. 
Une surface d'irrégularité 1 possède toujours un faisceau 
elliptique de courbes (*). 
3. Plaçons-nous dans l'hypothèse où la surface F possède 
un faisceau irrationnel de courbes ! K } et soit ® une surface 
(régulière) image de l’involution I,. D'après ce qui vient d'être 
dit, le faisceau ! K ! est transformé en lui-même par T. Comme 
(*) SEVERI, Loc. cit. 
(**) Cette remarque est connue : voir SEVERI, Osservaxiont sui sistemi continut di 
curve appartenenti ad una superficie algebrica. (Arr1 p1 Torino, 1903-1904.) 
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