L. Godeaux. — Sur les involutions régulières d'ordre deux 
la surface régulière ® ne peut posséder de faisceau irrationnel 
de courbes, les courbes K ne peuvent être transformées en 
elles-mêmes par T. Cette transformation engendre donc, dans 
le faisceau ! K}!, une involution d'ordre deux, nécessairement 
rationnelle, gi. Il en résulte qu'il y a certainement des courbes 
du faisceau !K}, en nombre fini, transformées en elles-mêmes 
par T. Soit K, une de ces courbes. 
Envisageons une courbe algébrique H, tracée sur F, 
transformée en elle-même par T, irréductible et d'ordre 
supérieur à celui des courbes K. Soient K' les courbes qui 
correspondent, sur ®, aux courbes K, K, la courbe correspon- 
dant à K,, H” la courbe correspondant à H. 
Si n est le nombre de points communs aux courbes K et à la 
courbe H, les courbes K' coupent la courbe H' en n points 
également. En particulier, la courbe K, coupe H et la courbe 
K, coupe H' en n points. Ces n points sont donc nécessairement 
des points invariants pour T. Ce raisonnement pouvant être 
répété pour toute courbe telle que H, on voit que tous les 
points de la courbe K,; sont des points de coïncidence de 
l'involution {,. Cette involution [, ne pouvant, par hypothèse, 
avoir une infinité de points de coïncidence, la surface F ne peut 
posséder de faisceau irrationnel de courbes. 
Une surface possédant un faisceau irrationnel de courbes ne 
peut contenir une involution régulière d'ordre deux, n'ayant 
qu'un nombre fini de points de coïncidence. 
Æ. Plaçons-nous maintenant dans l'hypothèse où EF est 
dépourvue de faisceau irrationnel de courbes et est donc d'irré- 
gularité q> 1. 
Les œ° courbes E se distribuent en æ°? groupes de » courbes 
équivalentes. Aux œ° systèmes linéaires non équivalents déter- 
minés par ces œ* groupes de courbes E correspondent, sur la 
variété de Picard V,, les points d’une surface algébrique W 
d'irrégularité q. À un point de F correspond une courbe E et, 
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