L. Godeaux. — Sur les involutions cycliques d'ordre quatre 
De ces relations nous déduisons deux théorèmes qui nous 
seront utiles dans la seconde note (*). | 
Cette seconde note sera consacrée à la construction de cer- 
taines surfaces particulières, images d’involutions de l’espèce 
envisagée ci-dessus. 
L. Soient F une surface algébrique de genres un (p,—P,—1) 
contenant une involution cyclique 1, d'ordre quatre et de genres 
un (D, —=P, —41); d une surface imagevde cette .involutrons 
L'involution I, possède un nombre fini de points de coïncidence, « 
précisément quatre points de coïncidence quadruple et quatre 
points de coïncidence double, formant deux groupes de l’invo- 
lution (”). 
Nous avons démontré (""”) que l’on peut construire, sur F, 
un système linéaire complet |C!, dépourvu de points-base, de 
dimension aussi grande qu'on le veut, tel que la transformation 
birationnelle T de F en elle-même, génératrice de I,, transforme 
une courbe C en une courbe C,. De plus, il existe des courbes C,« 
formant un système linéaire incomplet |C,|, transformées en 
elles-mêmes par T, le système |G,| étant dépourvu de points- 
base. Le système |C,| est donc composé au moyen de l'involu- 
tion [,. En rapportant projectivement les courbes de |C,| aux 
hyperplans d'un espace linéaire de même dimension que |, 
on obtient donc un « modèle projectif » de la surface D, modèle 
projectif qui est normal. 
Ceci étant rappelé, désignons par r le genre des sections 
hyperplanes de D, que nous supposerons normale. Il résulte 
des propriétés des surfaces de genres un que ® est d'ordre 
(*) Pour ne pas allonger inutilement le travail actuel, nous nous sommes borné 
à rappeler brièvement les résultats que nous avons obtenus antérieurement et qui 
nous étaient nécessaires. Nous avons de plus supposé connus les principaux théo- 
rèmes de la théorie des surfaces algébriques, ainsi que la théorie des homographies 
cycliques. 
(KA chap. AH/me 17e 
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