L. Godeaux. — Sur les involutions cycliques d'ordre quatre 

(Cl, trois systèmes partiels composés au moyen de I, de | 
dimension x — 2 chacun. | | 
2. La transformation birationnelle T, faisant correspondre, 
à une section hyperplane C de F une section hyperplane de cette, 
surface, est nécessairement déterminée par une homographie 
cyclique de période quatre, de Sr 3, pour laquelle Fest inva= 
riante. 
L'homographie H?, de période deux, possède deux espacess 
linéaires unis. Cette homographie H°? détermine, sur F, une 
transformation birationnelle T?, de période 2, engendrant une 
involution d'ordre deux. Il en résulte que les espaces unis ont 
les dimensions 2x — 1, 27 — 3 (*). Nous les désignerons pañ 
Sor—1, Sr 3. De plus, l’espace Sa. _3 ne rencontre pas F et. 
l'espace S9- — 1 rencontre cette surface en huit points (simples) 
Remarquons que les points A,, A,, A,, À,, À,,, A,,, À,, sonb 
invariants pour T?; ce sont donc précisément les huit points 

communs à F et à S2r—1. | 
Dans chacun des espaces Sor — 1, S9r _3unis pour H?, l’homow 
graphie H détermine une homographie de période deux. Il y as 
donc, dans chacun de ces espaces, deux espaces linéaires uniss 
pour H. Désignons par S, S' ceux qui se trouvent dans Sox —1i 
par S'', S'!' ceux qui se trouvent dans S9r 3. l 
Les hyperplans passant par trois des espaces S, S', S'', SU 
découpent, sur F, des sections hyperplanes transformées chacunes 
en elles-mêmes par H, done par T. Il y a quatre systèmes" 
d'hyperplans ainsi déterminés, et nous retrouvons ainsi les quatre 
systèmes de courbes de |C} composés avec F,. 
Supposons que les hyperplans passant par S', S”, sh 
découpent, sur F, le système |C|, de dimension +. Puisque Col 
est dépourvu de points-base par construction, les espaces” 
S', S'', S'!' ne rencontrent pas F. D'autre part, il résulte de la 
(+) L. GODEAUX. Mémoire sur les Surfaces algébriques doubles. .... (ANN. DE LA | 
FACULTÉ DES SCIENCES DE TOULOUSE, 1914 [3], V, pp. 289-319) et A, chap. VII | 
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