L. Godeaux. — Sur les involutions cycliques d'ordre quatre 
Les droites £,,, {,,, étant invariantes pour H, ont deux points 
invariants pour cette homographie. L'un de ces points est A,, 
l'autre se trouve nécessairement dans S7, ou S’",. Les deux 
droites {,,, t{,;; ne peuvent d'ailleurs rencontrer un de ces 
espaces, car alors il en serait de même de toute tangente t à 
F en À,, ce qui a été reconnu impossible. Il en résulte que le 
plan p, rencontre S°, et S°’, chacun en un point. 
Supposons maintenant que le plan p, puisse rencontrer 
l’espace S,,_, en une droite, ou appartenir à cet espace. 
Les hyperplans passant par S,,_, et A, découpent, sur F, des 
courbes invariantes pour H? et ayant un point double à tangentes 
variables en AÀ,; par suite, ces hyperplans contiennent le plan 
tangent p,. Ces hyperplans ont en commun un espace linéaire 
à 2 — 2 dimensions, certainement invariant pour H?. Suppo- 
sons que cet espace ait en commun avec S,,_, un espace linéaire 
à » dimensions; ce dernier espace contiendra certainement la 
partie commune à S,,_, et au plan p,. Dans l’espace à 2r — 2 
dimensions dont 11 vient d'être question, H°? a comme éléments 
unis S,,, et l’espace à & dimensions. D’après la théorie des 
homographies, on doit avoir 
p+2r7—-3+2—I2r 2 +1; 
done p — 0. Par suite, p, et S,,_, ne peuvent avoir que le point 
À, en commun. 
En résumé : En un point de coïncidence quadruple de l'invo-k 
lution 1, sur F, le plan tangent à cette surface rencontre en un 
et un seul point chacun des espaces S7,, S!!', unis de l'homo- 
graplue H de période quatre, génératrice de l’involution. 
Nous désignerons par 1, t, les tangentes à F en 
A;(1= 1, 2, 3, 4), s'appuyant respectivement sur S!,, S72,: 
4. Considérons maintenant les points de coïncidence double. 
A,,, À,, et soient p,,, p,, les plans tangents à F respectivement 
en ces points. L’homographie H? laisse invariant chacun de 
ces points et chacun des plans p,,, p,, et l’homographie H faits 
correspondre À,, à À,,, Pie à Pis 
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