appartenant à une surface de genres un. 

En répétant le raisonnement fait plus haut (n° 3), on démon- 
trerait que le plan p,, ne peut avoir que le point A,,, le plan 
p que le point À,, en commun avec l’espace S,,_.. 
Chacune des tangentes à F en A,, est invariante pour H?, 
mais H transforme une de ces tangentes en une tangente à F 
en A,,. Il en résulte que le plan p,, ne peut rencontrer les 
espaces linéaires S2,, S/’,; par contre, chacune des tangentes 
à F en À,,, étant imvariante pour H?. doit avoir deux points 
unis pour cette homographie; l’un de ces points est A,, ; l’autre 
se trouve necessairement dans S,,.. On voit donc que p,, 
rencontre S,, , en une droite. Il en est de même de p,,, et ces 
deux droites ainsi obtenues sont transformées. l’une dans l’autre 
par H. 
En résumé : £n un point de coïncidence double, le plan 
tangent à F rencontre en une droite l’espace S,,, uni pour 
l'homographie H?, mais il ne rencontre pas les espaces S!'., 
S,, unis pour H. 
9. Les résultats qui viennent d'être obtenus vont nous 
permettre de poursuivre l'étude des systèmes |C,}, |C, |, |O| et 
des systèmes qui leur correspondent sur %. 
Les courbes C, sont découpées sur F par les hyperplans 
passant par les espaces S,, S/,, S7’,. Ces hyperplans con- 
tiennent donc les points À,, À,, A,, À, et les plans tangents 
à F en ces points. Les courbes C, possèdent donc des points 
doubles en À,, À,, A., À. 
Désignons par |T| le système des courbes de ® qui corres- 
pondent aux courbes de |C,|, et par |, | le système des courbes 
de D correspondant aux courbes de |C, |. Il résulte des construc- 
tions faites plus haut que |T|, de genre +, de degré 2x — 2 et 
de dimension +, n’est autre que le système des sections hyper- 
planes de ®. Le système |F,| est certainement complet et a la 
même dimension r — 2 que |C,!; l,|est, par suite, de degré 
2r — 6 et de genre 7 — 2. Il en résulte que deux courbes C, 
se rencontrent, en dehors des points À,, AÀ,, A., À,, en 
” 





