L. Godeaux. — Sur les involutions cycliques d'ordre quatre 

——_—_—_—— ee 0 
En résumé : existe sur la surface ® deux systèmes 
linéaires complets de courbes d'ordre 2x — 2 et de genre x — £, 
passant simplement par les six points de diramation. En chacun 
des quatre points de diramation quadruple, les courbes de 
chaque système touchent un des plans tangents. 
La formule de Zeuthen, appliquée à la correspondance entre 
une courbe F, et la courbe C, correspondante, et la compa- 
raison des degrés des systèmes |l,i, [C,| fournissent des véri- 
fications de nos résultats. 
7. — On sait qu'un point double biplanaire auquel est 
infiniment voisin un point double conique équivaut, au point 
de vue des transformations birationnelles, à un ensemble de 
trois courbes rationnelles de degré — 2. Deux d’entre elles 
représentent les points infiniment voisins du point considéré 
sur chacune des nappes de la surface; elles ne se rencontrent 
pas. La troisième, qui a un point commun avec chacune des 
deux autres, représente le point double conique. Ges courbes 
apparaissent dans des transformées birationnelles de la surface, 
convenablement choisies. 
Nous désignerons par l;, 1x, l; les trois courbes rationnelles 
dont l’ensemble équivaut au point A; (i— 1, 2, 5, 4) 
courbe T,, étant celle qui rencontre les deux autres chacune en 
un point; F;,l, ne se rencontrent pas. 
Observons que les courbes C, de F passant par À; acquièrent 
en ce point un point double dont les tangentes sont {;, £. À 
ces courbes C, correspondent les sections hyperplanes de ® 
passant par À; ; par suite, les points des courbes l;,T; corres- 
pondent respectivement aux points de {,, {,. infiniment voisins 
de A,, c’est-à-dire aux points de F, infiniment voisins de A,, 
qui sont invariants pour T. Il en résulte que les points de F; 
correspondent aux points de F, infiniment voisins de A,, qui 

sont invariants pour T?. 
Les points doubles coniques A;,, A, sont équivalents chacun 
à une courbe rationnelle de degré —.2. Nous désignerons ces 
ET Rit—— 

ue RS mé tésdltin 
Che es REG LS LP tt “M Dh 

