L. Godeaux. — Sur les involutions cycliques d'ordre quatre, 


quatrième ordre ayant un contact du troisième ordre (quarti- 
ponctuel) avec la surface D. Ces surfaces du quatrième ordre 
passent par les points A,, À,, À., À,, À, A.. 
De plus, le système 
[i=l+r] 
est découpé, sur ®, par les quadriques passant par À,, A,, A., 
AIMANT I AE 
Observons que des égalités fonctionnelles qui les définissent, 
on conclut que deux courbes F,, F, se rencontrent en deux 
points variables avec les courbes (et simples pour la surface D). 
Dans la suite de ce travail, nous supposerons que la surface D 
est la surface du quatrième ordre la plus générale possible, 
satisfaisant aux quatre conditions énumérées ci-dessus. Dans ces 
conditions, la surface étant dépourvue de courbes multiples, 
sera de genres un (*). 
2. Supposons que la surface D existe effectivement et dési- 
gnons par |Q] le système des quadriques tangentes aux droites 
A;A;, A,A;, A,A;, A A respectivement aux points À,, À,, À:, A.. 
Le système |Q]| est un faisceau ou un réseau; nous allons 
démontrer que c’est précisément un réseau. 
Considérons deux courbes quelconques 1}, [?' du faisceau [T, |. 
Les quadriques passant par T, découpent encore sur ® des 
biquadratiques gauches formant un faisceau |'}. Ce faisceau |['| 
contient la courbe T, car il y a une quadrique inscrite à la 
surface le long de l;. Les faisceaux |T,|, |T'| ont donc une 

A 
(*) Les quatre propriétés de la surface ® qui viennent d’être énumérées ne sont 
d’ailleurs pas toutes indépendantes. Dans la seconde partie de notre Mémoire sur 
les involutions appartenant à uue surface de genres un (ANNALES DE L'ÉCOLE NORMALE 
SUPÉRIEURE, 1919, pp. 51-70), nous avons démontré que pour que la surface ® 
représente une involution cyclique d'ordre quatre appartenant à une surface de 
genres un, il faut et il suffit qu’elle satisfasse aux conditions I, II et qu'il existe 
soit une courbe lo, soit une courbe T's. 
en Le 

