L. Godeaux. — Sur les involutions cycliques d'ordre quatre, 
Nous désignerons par Q,, Q, respectivement les cônes de 
sommets À,, À;, par Q, la quadrique passant par A;, A... 
Observons que la surface du quatrième ordre formée des 
cônes Q,, Q, satisfait aux conditions I, IE et LIL. Il en est de 
même de la surface du quatrième ordre formée par la qua- 
drique Q, comptée deux fois. Par suite, toute surface du 
quatrième ordre appartenant au faisceau déterminé par les 
surfaces 2Q,, Q, + Q,. satisfait aux conditions E, ET et IE. 
Æ. Considérons les quadriques R passant par les six 
points À,, À,, A,, À,, À., AÀ,. Elles forment un système 
linéaire æ*, R|. 
Trois quadriques de |R}, n'appartenant pas à un même 
faisceau, ont en commun deux points, en dehors des six points= 
base. Les couples de points ainsi obtenus sont en nombre à 
et forment une involution spatiale J,. Cette involution déter 
mine une transformation birationnelle involutive de l’espace, 
transformation dans laquelle deux points homologues forment 
un groupe de J, et que nous désignerons par T. | 
Nous allons montrer que la surface ® est transformée en 
elle-même par T. 
Soient L,, l, deux courbes arbitraires respectivement des 
faisceaux |l,|, l,|. Ces deux courbes ont deux points communs 
(simples pour D). Nous allons faire voir que par ces points 
passent œ* quadriques R, formant un réseau, et que par suiten 
ces points forment un groupe de Jo. 
Les quadriques R découpent, sur ®, les courbes 
Ten 
Par suite, les quadriques R passant par T, découpent, sur ®, le 
faisceau 
Ho — 1 | MISE 
et de même, les quadriques R passant par l'; découpent, sur ®, 
le faisceau |T,|. Les faisceaux de quadriques ayant respective- 
NCA = 

