L. Godeaux. — Sur les involutions cycliques d'ordre quatre, 
9. Désignons par X l’espace ordinaire contenant ® et rap- 
portons projectivement les quadriques du système |R| aux plans 
d'un espace linéaire à trois dimensions Ÿ*. On obtient ainsi, 
entre les espaces £” et È une correspondance (1, 2). À un point 
de È” correspondent deux points de £ formant un groupe de J,. 
Inversement, à un point de Y correspond un seul point de X*, 
Cette correspondance est bien connue, nous nous bornerons 
à rappeler 1c1 les propriétés qui nous seront nécessaires (*). 
Les points de Y* auxquels correspondent deux points coin- 
cidents de Y sont situés sur une surface de Kümmer W* (surface 
de diramation). La surface correspondante dans Y (lieu des points 
de Y invariants pour T) est la surface de Weddle Y, lieu des 
sommets des cônes appartenant au système |R|. 
Les points singuliers de la surface de Kümmer W* sont : 
a) Le point P*, sommet de la gerbe des plans qui corres- 
pondent aux quadriques circonscrites à la cubique gauche ;, 
déterminée par les six points A,, AÀ,, ..., A,. Aux points de X*, 
infiniment voisins de P”, correspondent les couples de points 
de la cubique gauche -.. 
b) Les quinze points P;; sommets des gerbes de plans qui 
correspondent aux quadriques de |R| passant respectivement 
par les droites A;A, (1, k — 1,2,3, 4, 5, 6; ik). Aux points 
infiniment voisins de P, dans X*, correspondent les couples 
de points de la droite A;A,. 
Aux points de Z infiniment voisins de A; correspondent, 
dans ?” les points du plan +7, tangent à la surface de Küm- 
mer W° suivant une conique y; et contenant les six points 
singuliers P* et P; (k +1). En particulier, aux points de la 
surface de Weddle infiniment voisins de A; correspondent les 
(*) Nous avons déjà utilisé cette correspondance dans notre note Sur les surfaces 
du quatrième ordre possédant six points doubles biplanaires ordinaires (BuLL. DE 
L'ACAD. ROY. DE BELGIQUE, 1922). Cette correspondance a été étudiée par M. Snyder 
(Trans. Amer. Math. Society, 1911) et, auparavant, par Reye (Journal de Crelle, 
t. LXXXVI). Nous n'avions pas cité ce dernier géomètre. 
= 600 


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6  , 

+ 2 me 
