L. Godeaux. — Sur les involutions cycliques d'ordre quatre, 


7. En nous basant sur ces résultats, nous allons construire 
la surface ® en partant de la correspondance (1, 2) entre £° et E. 
Choisissons six points À,, À,,A., A,, À.,, À; sans relation par- 
ticulière entre eux dans Y, et rapportons projectivement les 
quadriques passant par ces points aux plans d’un espace X’. 
Conservons, pour la correspondance (1, 2) entre £” et £ ainsi 
définie, les notations indiquées plus haut (n° 5). | 
Sur la surface de Kümmer W*, considérons un quartique 
elliptique gauche +* passant par les huit points singuliers 
* *X DE * * *X »X *X 
457 25 » PXx, 45 » P#, P#, P, PÉ; 
quartique qui existe certainement sur la surface de Kümmer à 
modules généraux (*). Le long de y”, il y a une quadrique Q° 
inscrite à la surface de Kümmer W*. De plus, la courbe +* et la 
quadrique Q* touchent en un point (variable avec y”) tout plan 
singulier de W* que y* ne rencontre qu'en deux points singu- 
liers. 
La courbe * ne rencontre le plan + qu'en deux points sin- 
guliers P*, P?,, par conséquent, cette courbe et la quadrique Q° 
touchent le plan +* en un point P° (non singulier, situé sur y). 
1 1 La) , il 
De même, la courbe ÿ* et la quadrique Q* touchent les 
plans x? en P*, #3 en P, rx; en P°, ces points étant non sin- 
guliers pour W* et situés respectivement sur les coniques 
+ * * 
Ye Ys Ya 
La courbe +* rencontrant chacun des plans +;, xç en quatre : 
points singuliers, la quadrique Q* ne touche pas ces plans. 
La quadrique Q* touchant les plans 7°, +5, #:, 7, le plan 
polaire Q% du point P* par rapport à cette quadrique, passe par 
les points de contact P?, P*, P%, P. 
Désignons par ®* une quadrique quelconque du faisceau 
(*) G. HumBErT, Théorie générale des surfaces hyperelliptiques. [JouRNAL DE Liou= 
viLLE, 4893, (4), IX, pp. 29-170, 361-473.] Voir en particulier le chapitre II, p. 78. 
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