_L. Godeaux. — Sur les involutions cycliques d'ordre quatre, 
Il résulte de tout ceci que la surface du quatrième ordre 
fait partie du faisceau déterminé par les surfaces Q, + Q,, 20; 
elle satisfait donc aux propriétés [, IL et II (n° 3). 
Il nous reste à démontrer que D satisfait à la condition IV. 
À une génératrice rectiligne de la quadrique D correspond, 
dans Y, une biquadratique gauche passant par les points AÀ,, A, 
À;, À,, À,, À, (intersection de deux quadriques passant par ces 
points), et située sur ®. 
Aux deux systèmes de génératrices rectilignes de ®* corres- 
pondent done, sur ®, deux faisceaux de biquadratiques gauches. 
I s'agit de montrer que ces faisceaux possèdent les mêmes 
propriétés que F,|, F,|, c’est-à-dire qu’une biquadratique consi- 
dérée rencontre une des courbes T';,, l,, en un point, ne ren- 
contre pas l’autre, ni la courbe l,, (1 — 1, 2, 3, 4), enfin ren- 
contre en un point les courbes LESATe 
Considérons une génératrice rectiligne G* de D*. G* rencontre 
le plan +; en un point, donc la biquadratique correspondante G 
rencontre la courbe l; en un point. De même, G rencontre FT, 
en un point. 
La droite G* rencontre le plan +; en un point généralement 
distinct de P° et situé sur une des génératrices de D* située dans 
ce plan. Par suite, la courbe correspondante G ne rencontre 
pas l,, et rencontre une seule des courbes T,,, l,, en un point. 
Partant de ces résultats, on peut montrer que les faisceaux 
de biquadratiques gauches correspondant aux systèmes de géné- 
ratrices rectilignes de D* satisfont aux équations fonctionnelles 
indiquées plus haut (n° 4, IV) (. 
Remarquons que les quartiques elliptiques gauches (biqua- 
dratiques) passant par huit points singuliers d’une surface de 
Kümmer sont en nombre œ‘ (formant un faisceau). Il existe 
donc œ quartiques telles que +* et par suite ot quadriques 
telles que Q* et, en correspondance, æ‘ plans tels que Qÿ. 



(*) Voir notre première communication, n° 9. 
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