L. Godeaux. — Sur les involutions cycliques d'ordre quatre, 


cônes du second ordre tangents à ®' en B, (et passant par B; et 
par les autres sommets du tétraèdre B, B,B.B.). Il en résulte, 
que B; est double biplanaire pour ®’, les plans tangents en ce 
point étant les plans tangents aux deux cônes le long de la 
droite B,B; (1 — 1, 2, 3, 4). | 
Nous avons vu plus haut qu'il existe un cône du second ordre! 
de sommet A,, tangent aux droites A,A!, A,A’, A,A! respec= 
tivement en À,, À,, A,. À ce cône, correspond, dans Z', un 
plan passant par B,, B:;, B;, B;. On établit de même que less! 
points B,, B;, B,, B;; B;, B,, B;, B:: B,, B!, B!, B!; sons 
coplanaires, par suite les tétraèdres B,B,B.B, ; B:B!B!B; sont! 
des tétraèdres de Moebius. | 
Aux points doubles coniques A,, A; de ® correspondent 
évidemment des points doubles coniques de æ'. 
Aux biquadratiques gauches F,, T,, l', (n° 1) tracées sur ®, 
correspondent, sur ®', des biquadratiques gauches T!, F}, F4. 
Il est aisé de voir que : 
Les biquadratiques FT; passent par B,, B,, B,, B,, B;, B!, B!\ 
B; et forment un faisceau |T|. | 
Les biquadratiques L° et l', passent par B,, B,, B., B,, B., B, 
et forment deux faisceaux |[,|, [Li|. | 
Donnons-nous maintenant la surface ®', d'ordre quatre 
possédant dix points doubles isolés, quatre, B,, B,, B,,B2 
biplanaires ordinaires, six, B’, B;, B;, B!, B;, B,, coniques, less, 
groupes de points B,B,B;B,, B;B;B;B; formant deux tétraèdres 
de Moebius. Supposons de plus que sur ®’' existe une biqua= 
dratique gauche l, passant par B,, B,, B.,, B,, B., B.. | 
En rapportant projectivement les surfaces cubiques passant 
par les arêtes du tétraèdre B,B,B,B, aux plans d’un espace 
ordinaire, on obtient une transformée birationnelle &, de ®! 
possédant quatre points doubles biplanaires A,, A, A,,A,, ayant 
des points doubles coniques A!, A}, A!, A! infiniment voisins, 
et deux points doubles coniques A., A... 
Comme il y a x? quadriques passant par les sommets de 


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