GéomérriE. — Sur les involutions cycliques d’ordre quatre 
appartenant à une surface de genres un 
(troisième communication) (*), 
par L. GODEAUX, professeur à l'École militaire. 
Dans cette troisième et dernière note (**), nous considérons 
les plans doubles de genres un représentant des involutions 
cycliques d'ordre quatre, appartenant à des surfaces de genres 
un, dans l'hypothèse où les éléments de diramation de ces 
involutions sont des points isolés du plan. Nous établissons 
précisément le théorème suivant : 
Si un plan double de genres un ® est l’image d'une involution 
cyclique d'ordre quatre appartenant à une surface F de genres 
un, de manière que les points de diramation de ® pour la 
correspondance (1, 4) existant entre ® et F soient des points 
isolés du plan, ce plan double D se ramène, par une transf{or- 
mation birationnelle, à l’un des cinq types suivants : 
I. Plan double dont la courbe de diramation se compose 
d’une quartique possédant deux points doubles À;, À, et d'une 
conique tangente à la quartique en quatre points À,, À,, Az; À: 
Les six points À,, À,, À;,, À,, À,, ÀÇ sont sur une même 
| conique. 
II. Plan double dont la courbe de diramation se compose de 
deux quartiques ayant deux points doubles O,, O, en commun, 
| se touchant en quatre points À,, À,, À, À, el ayant l’une un 

(*) Présenté par M. Stuyvaert. 
(*) Les deux premières notes sont parues dans le Bulletin de l’Académie royale 
de Belgique, février et août 1993. 
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