
appartenant à une surface de genres un. 

D 
d'ordre quatre dont un plan double du cinquième type est 
l’image, peut se transformer birationnellement en une surface 
du quatrième ordre. 
1. Soit ® une surface de genres un (p, — P, — Î), image 
d’une involution cyclique d'ordre quatre appartenant à une 
surface F de genres un. Supposons que la surface possède 
une transformation birationnelle involutive en elle-même, et 
soit J, l'involution d'ordre deux engendrée par 6. L'involu- 
tion J, sera supposée rationnelle et nous désignerons par D la 
courbe lieu des points de coïncidence de cette involution (points 
invariants pour ). 
Soit [Fl-un système linéaire de genre r(r = 2), tracé sur ®, 
privé de points-base et composé au moyen de l’involution J, (). 
Nous supposerons que le système IT} ne soit pas composé 
au moyen d'une autre involution existant éventuellement 
sur ®. 
Rapportons projectivement les courbes L'aux hyperplans d’un 
espace linéaire S- à x dimensions. La surface D se tranforme 
en une surface d' de S, et cette surface est normale, puisque IT 
a la dimension 7. 
A un point de ® correspond un point de æ' et à un point 
de ®' correspondent deux points de formant un groupe de 
l'involution J,. Le système |l| ayant le degré 97 — 2 et étant, 
d'autre part, dépourvu de points-base, la surface D’ a l’ordre 
— 4, Elle est donc rationnelle (ce qui résulte aussi de l’hypo- 
thèse faite sur #,). 
Les sections hyperylanes [' de ® sont d'ordre x — 1 et 
4 dimensions; ce sont 

situées dans des espaces linéaires à 7 

(*) L'existence de systèmes tels que || a été démontrée par M. ENRIQUES. Sui 
piani doppi di genere uno. Memorie della R. Soc. ltaliana delle Scienxe, 1896; 
X; [3]. Voir n° 6. 
en AE =" 
