appartenant à une surface de genres un. 

Un raisonnement analogue peut être fait pour les points 
À,, À;, qui sont doubles coniques pour D. Mais, actuellement, 
la surface D’ peut posséder un point double conique : précisé- 
ment dans le cas où cette surface se réduit à un cône du second 
ordre (rx —= 3). 
Plaçons-nous dans ce dernier cas et soient O le sommet du 
cône D’, K' ses génératrices rectilignes. Au point O corres- 
pondent sur ® deux points, dont l’un au moins est un point de 
diramation double. Soit A; ce point. Le second point, que 
nous désignerons provisoirement par A, peut ou non être 
confondu avec À,. Plaçons-nous dans la seconde hypothèse et 
observons qu'aux droites K”, rencontrant la courbe D' en quatre 
points, 1l correspond sur ® des courbes elliptiques K. À ces 
courbes K correspondent, sur F, des courbes K de genre deux, 
puisqu'elles passent par les deux points de F correspondant 
à À. De plus, ces courbes K passent par les quatre points de F 
correspondant à A;; cela est absurde, car les courbes K, qui 
forment un faisceau, ne peuvent avoir que deux points com- 
muns (des courbes de genres deux ayant, sur une surface de 
genres un, le degré deux). Il en résulte que le point A: doit 
être confondu avec À... 
En résumé, les points de diramation quadruple A,, A,, A., A, 
appartiennent à la courbe D’. Les points de diramation double 
À., À, appartiennent à la courbe D' ou bien sont superposés 
en un point double de ®', qui est alors un cône du second 
ordre. 
3. Recherchons maintenant les singularités de la courbe D' 
Bux points A}, À,:,..,A,. 
Les sections hyperplanes de ®, passant par A,, ont le 
genre abaissé d’une unité (*). Les courbes I” passant par A,, 
(*) Voir notre Mémoire sur les involutions appartenant à une surface de genres un 
(première partie). Annales de l'École normale, 1914. 
