L. Godeaux. — Sur les involutions cycliques d'ordre quatre 

considérées comme courbes doubles, doivent donc posséder 
25 +2—2— 2x points de diramation: par suite, À, est 
double pour la courbe D’. 
De plus, par A, passent œ7—? sections hyperplanes, formant 
un système linéaire dont le genre est 7 — 2. Les courbes F 
correspondantes ne doivent plus posséder que 27 — 2 points 
de diramation; donc la courbe D' possède un point double 
infiniment voisin de À,. 
On démontre de même que les points A,, A;, lorsqu'ils 
appartiennent à la courbe D’, sont doubles pour celle-ci. 
En résumé, les points A,, À,, A., A, sont des tacnodes de 
la courbe D’; les points A;, A, sont (éventuellement) des points 
doubles ordinaires. 

Æ. Le point À, équivaut à l’ensemble de trois courbes ration- 
nelles de degré — 2, T,,, TV, L,, (*). Voyons comment la 
transformation 6 opère sur ces courbes. 
Supposons + > 2. Si nous rapportons projectivement les 
courbes [passant par A, aux hyperplans d'un espace linéaire 
Sr—1 à x — À dimensions, D’ se transforme birationnellement 
en une surface D, d'ordre x — 2, contenant une droite a, 
correspondant à A,. A la surface double D correspond une 
surface double D, formée de D, comptée deux fois et possédant 
une courbe de diramation D! (correspondant à D’) d'ordre 2. 
La courbe D; possède un point double sur a, correspondant au 
point double de D' infiniment voisin de A.. 
D'autre part, les sections hyperplanes de ® passant par A,, 
ou les sections hyperplanes de ®, qui sont birationnelle- 
ment équivalentes à ces premières courbes, sont les courbes 
l'—T,;—T,.. I en résulte que les courbes D,,, T,:#sont 
représentées, sur ®,, par la droite a, comptée deux fois. Par 
suite, 0 transforme la courbe F,, en la courbe F.. 

(*) Voir notre première communication. Bull. de l'Acad. roy. de Belgique, février 
1993. 




