appartenant à une surface de genres un. 
cela est absurde, car la courbe qui correspond sur F à la 
courbe FT, considérée appartiendrait au système correspondant, 
sur F, à |l|. 
Il résulte de tout ceci que les courbes F,, invariantes pour 6, 
ne peuvent rencontrer D en un nombre fini de points; en 
d’autres termes, ces courbes doivent contenir une partie de la 
courbe D (*). La courbe de coïncidence D se décompose donc 
en deux parties D,, D, et, par suite, la courbe de diramation D' 
se décompose en deux parties D;, D,. Observons que les 
courbes D!, D! doivent être d'ordre pair, car si, par exemple, 
une courbe F, invariante pour Ü se compose de D, et d'une 
partie variable, celle-ci doit rencontrer une courbe l en un 
nombre pair de points (couples de points de l'involution J,). 
Comme une courbe T, rencontre une courbe T en un nombre 
pair (2r — 2) de points, D, rencontre une courbe F en un 
nombre pair de points; ce nombre est égal à l'ordre de la 
courbe D!. D'autre part, la courbe D'— D; + D, étant d'ordre 
pair (2r + 2), D, est aussi d'ordre pair. 



7. Dans son mémoire sur la classification des plans doubles 
de genres un (*), M. Enriques a démontré que ces plans 
doubles se ramènent à quatre types birationnellement distincts, 
à Savoir : 
1° Plan double ayant une sextique de diramation. 
2 Plan double ayant une courbe de diramation d'ordre huit, 
possédant deux points quadruples distincts ou infiniment 
VOISINS. 
Ce plan double est birationnellement équivalent à une qua- 
drique double ayant une courbe de diramation d'ordre huit. (Le 

(*) Une courbe l'; rencontrant une courbe T en 2x — 2 points et D rencontrant 
T en 2x +9 points, l, ne peut contenir la courbe D tout entière, 
(**) Sui piani doppi... Loc. cit. 
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