L. Godeaux. — Sur les involutions cycliques d'ordre quatre 
cas où les points quadruples sont infiniment voisins correspond 
au cas où la quadrique est un cône.) | 
3° Plan double ayant une courbe de diramation d'ordre dix, 
possédant un point septuple auquel sont infiniment voisins deux 
points triples distincts. 
Ce plan double est birationnellement équivalent à une réglée 
double du troisième ordre, de S,, possédant une courbe de 
diramation d'ordre dix. 
4° Plan double ayant une courbe de diramation d'ordre 
douze, possédant un point nonuple auquel sont infiniment 
voisins trois points triples distincts. 
Ce plan double est birationnellement équivalent à une réglée 
double d'ordre quatre, de S,, possédant une courbe de dirama- 
tion d'ordre douze. 
Tenant compte de ces résultats, nous voyons que les sur- 
faces D doubles normales de genres un, birationnellement 
distinctes, images d'involutions cycliques d'ordre quatre appar- 
tenant à une surface F de genres un, et telles que les sections 
hyperplanes soient en général dépourvues de points de dirama- 
tion pour la correspondance entre et F, sont : 
I. Un plan double ayant une sextique de diramation dotée 
de quatre tacnodes et de deux points doubles {x — 2). 
If. Une quadrique double ayant une courbe de diramation 
d'ordre huit, dotée de quatre tacnodes et de deux points doubles 
= 3). 
III. Une réglée cubique de S, ayant une courbe de dirama- 
tion d'ordre dix, douée de quatre tacnodes et de deux points 
doubles (r = #4). 
IV. Une réglée d'ordre quatre de S, ayant une courbe de 
diramation d'ordre douze, dotée de quatre tacnodes et de deux 
points doubles (r — 5). 
V. Un cône du second ordre ayant une courbe de diramation 
d'ordre huit, douée de quatre tacnodes (x — 3). 
Nous allons examiner séparément ces surfaces. 

— 468 — 




