L. Godeaux. — Sur les involutions cycliques d'ordre quatre 
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9. Plan double du deuxième type. — Si x — 3; les 
courbes l', forment un faisceau et sont elliptiques; elles ren- 
contrent les courbes Ten 2 — 2 = 4 points. 
Si toutes les courbes T, étaient invariantes pour 6, elles 
comprendraient une partie fixe D, faisant partie de la courbe 
de coïncidence D et rencontrant les courbes T en 2x points 
(0O<x<2), c’est-à-dire, nécessairement, en deux points. La 
courbe de diramation D' de @ se composerait done d’une 
conique D; et d’une sextique D’. Aux courbes l, — D,, rencon- 
trant les courbes l'en deux points, et invariantes pour 6, 
correspondraient, sur ', œ1 droites. Ces droites formeraient 
nécessairement un système de génératrices rectilignes de la 
quadrique D’. Si ®' n’est pas un cône, ces droites ne peuvent 
rencontrer D’ en des points fixes: les tacnodes Â;;, A, UALR AR 
de D’ sont donc situés sur D'; alors la sextique D, doit 
toucher D; en quatre points, ce qui est absurde {"). Si æ' est 
un cône, les droites qui correspondent aux courbes Fr, —D, 
sont les génératrices de ce cône et l’un des tacnodes de D’ pour- 
rait être situé au sommet du cône. Mais alors ces droites ne 
rencontreraient plus la courbe D' qu’en deux points simples et 
les courbes T, — D, seraient rationnelles, ce qui est absurde, 
® étant de genres un et ne pouvant donc contenir qu'un nombre 
fini de courbes rationnelles. On voit donc que 0 ne peut laisser 
chaque courbe T, invariante. 
À l’ensemble de deux courbes l’, transformées l’une dans 
l'autre par 0 correspond une courbe l; du quatrième ordre 
de ®'. Ces courbes l! sont elliptiques (puisque transformées 

une fois la droite A; A, et, par suite, œt cubiques passant par 4;, À;, tangentes 
à Djten A) Abe cubiques contiendraient donc toutes la conique D, et il 
resterait œft droites passant par As, A5, Ce qui est absurde. Les quartiques en 
question forment donc un faisceau, Deux de ces quartiques sont évidemment 
FL 0, g2—0; d'où la conclusion : l'équation de D; est 
fA2 + Ag — 0. 
(*) D; ne peut contenir D, comme partie, ear alors D; cesserait d’être une courbe 
de diramation effective. 
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