appartenant à une surface de genres un. 
birationnelles des l,), forment un faisceau et touchent D' aux 
quatre tacnodes A,, À,, À.,, A,. Puisque les courbes |} sont 
elliptiques, par chacune d'elles passent œ1 quadriques (dont la 
quadrique D’); il y a done œ&°? quadriques tangentes à la courbe 
de diramation D’ aux points tacnodaux A,, A,, A., A,. Ces 
points absorbent 4 (2 X 2) — 16 points d'intersection de D’ 
avec une quadrique, par suite, les &? quadriques ne rencontrent 
plus D’ en dehors de ces points (sauf ’ qui contient D'). Par 
un point de D’ passent œ‘! quadriques (dont æ') du réseau envi- 
sagé; par suite, la base de ce faisceau fait partie de D”. Il en 
résulte que D’ se compose de deux courbes D,, D, du faisceau 
IF;}, ces courbes se touchant en quatre points. Ces deux courbes 
D;, D, correspondent aux deux courbes du faisceau !F,} inva- 
riantes pour 06. Il est aisé de voir que les courbes de [rl 
invariantes pour à sont précisément celles qui passent, soit par 
À, soit par À,. Par suite, D possède un point double A., D'un 
point double A,. 
Les courbes r,, l, sont actuellement elliptiques et rencontrent 
les courbes F en quatre points. Il leur correspond done, sur ®”, 
des quartiques elliptiques F', passant par A,, ..., À;. En dehors 
de ces six points, une quadrique, distincte de d', passant par 
une courbe F!,, rencontre encore D, et D, chacune en deux 
points. Comme à cette courbe T;, correspond sur d une courbe 
dégénérée, ces points doivent provenir de contacts (c’est-à-dire 
être des diramations apparentes); donc les courbes r;, touchent 
D; et D, en dehors de A,, A,...., A;. Observons également que 
les courbes F?, forment un système &! d'indice deux. 
Si nous projetons la quadrique D" sur un plan à partür d'un 
de ses points, on voit qu'un plan double du second type possède 
les particularités suivantes : 
a) La courbe de diramation se compose de deux quartiques 
se touchant en quatre points A7, A7, A5, A7, ayant en commun 
deux points doubles 0,, 0, ct ayant enfin lune un troisième 
point double A°, l’autre un troisième point double A; 

1993. SCIENCES. — YU — 31 
