L. Godeaux. — Sur les involutions cycliques d’ordre quatre 


b) Il existe œ' quartiques passant doublement par 0,; 0,, 
simplement par A7, ..., Af et touchant chacune des quartiques 
en un point. 
(Les points 0,, 0, sont les points d’intersection des généra- 
trices de la quadrique Œ' passant par le centre de projection.) 
10. La question de l'existence du plan double qui vient 
d'être étudié revient à montrer que, sur la quadrique ®', on peut 
choisir D,, D; de manière que les courbes T!, existent. On peut 
résoudre cette question de la facon suivante : 
Observons tout d’abord que les courbes D, D! sont projetées, 
respectivement des points À;, A,, suivant des cônes du second 
ordre. En chacun des points A,, A,, A.,, À,, il y a une tangente 
commune à ces cônes et à d’. Si les deux cônes se rencontrent 
sur la surface de Weddle W', lieu des sommets des cônes du 
second ordre passant par A,, A,,..., A;, nous savons que Ja 
quadrique ®' existe (*). 
Cela étant, rapportons projectivement les quadriques passant 
par A,,A,,..., A, aux plans d’un espace linéraire X* à trois 
dimensions (**). Ainsi, se trouve définie une correspondance 
(1, 2) entre X* et l’espace Y contenant ', et cette correspon: 
dance possède dans Y* une surface de diramation qui est une 
surface de Kümmer W*, 
À la quadrique %' correspond, dans X*, un plan Qÿ. A! 
l'ensemble des cônes projetant D; de A,, D; de A; correspond» 
une quadrique Q* inscrite à la surface de Kümmer W* le long 
d'une biquadratique +* passant par les points singuliers 
NO RTS EIRE plan Q$ est le plan polaire du | 
. . e % \ TE 
point singulier P* par rapport à Q*. 
À la conique commune à Q*, Qÿ correspondent les courbes 
(*) Voir notre deuxième communication. Bull. de l’Acad. roy. de Belgique, août 
1993. 
(**) Nous avons utilisé cette transformation dans notre seconde communication 
citée plus haut. Nous conserverons dans ce paragraphe les mêmes notations pour 
les éléments singuliers de la surface de Kümmer W*, sans les définir à nouveau. 
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