appartenant à une surface de genres un. 
0 
plan, on obtient un plan double birationnellement équivalent 
à D et possédant les particularités suivantes : 
a) La courbe de diramation se compose de : 
Une courbe du huitième ordre possédant un point sextuple O0 
auquel sont infiniment voisins trois points doubles distincts 
0,. O.. O., et deux points doubles distincts A%, A7. 
1 À R » 6 
Une courbe du quatrième ordre ayant un point triple en 0, 
passant simplement par O,, O,, O, et tangente à la première 
courbe en quatre points A7, A5, A5, A7. 
b) ILexiste 2 * courbes d'ordre huit, ayant un point sextuple 
en O, des points doubles en O,, O,, O,; passant par les six 
PARENT A je ss sr 
points A*, .…, A% et bitangentes à la courbe du quatrième ordre, 
tangenLes en quatre points à la courbe du huitième ordre, com- 
posant la courbe de diramation. 
18. Plan double du cinquième type. — On a actuellement 
— :}: la surface D’ est un cône du second ordre; la courbe de 
diramation D’ possède quatre tacnodes et est d'ordre huit. Les 
points A, À, de la surface ® correspondent au sommet O du 

Te 
cône D”. 
En répétant le raisonnement fait pour les plans doubles du 
second type, on démontre que la courbe D’ se compose de deux 
quartiques D, D; se touchant en quatre points A;, A,, À, À, . 
Aux courbes F, correspondent les courbes L; de ®° formant un 
faisceau dont D'!, D! font partie. À une courbe l; correspondent. 
deux courbes F,; à D!, D; correspondent les courbes F, Inva- 
riantes pour . 
Nous allons démontrer que le cône double est l'image d’une 
involution cyclique d'ordre quatre, L,, appartenant à une sur- 
face du quatrième ordre (éventuellement une quadrique double) 
de S., et engendrée sur cette surface par une homographie . 
Nous en déduirons quelques propriétés de ce cône double. 
Désignons par K' les générations rectilignes du cône db’. Ces 
droites rencontrant la courbe de diramation I}; + D; en quatre 
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