L. Godeaux. — Sur les involutions cycliques d'ordre quatre 

points, il leur correspond sur ® des courbes K elliptiques, 
formant un faisceau |K}. Aux courbes K correspondent sur la 
surface F les courbes K, passant par les quatre points (de coïn-« 
cidence double pour I,) qui correspondent à A, A. Ces courbes 
sont donc, d’après la formule de Zeuthen, de genre trois. Par suite, 
elles appartiennent totalement à un système linéaire œ?, 
transformation T génératrice de I, transforme une courbe de K| 
en une courbe de |[K|, puisque T laisse invariantes les courbes K) 
de ce système. 
Rapportons projectivement les courbes K aux plans d'un S.. 
À la surface F correspond birationnellement une surface du 
quatrième ordre (que nous désignerons toujours par F) et àT 
correspond une homographie de période quatre, laissant F inva- 
riante. Aux courbes Kÿ correspondent des sections planes de F, 
formant un faisceau; les plans de ces sections ont donc en 

commun une droite à qui rencontre F en quatre points. Ce sont 
précisément les points qui correspondent à A., A,; ils sont des 
coimeidences doubles pour T (c'est-à-dire des coïncidences 
pour T°) et. par suite, la droite à est invariante pour T et chacun 
de ses points est invariant pour T?. 
L'homographie T laisse invariants deux points de 5, ne 
pouvant appartenir à F (car alors ils appartiendraient à toutes 
les courbes K,). D'après la théorie des homographies, T pos-s 
sède encore soit deux points, soit œ! points (formant une 
droite) invariants. D'autre part, on sait que [, possède quatre 
points de coïncidence quadruple (correspondant à A,, A,, A, A,): 
donc T possède, en dehors de à, quatre points invariants. Il en. 
résulte que T laisse invariant tous les points d’une droite 5’. 
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Par la droite à passent aux moins deux plans invariantss 
pour T. Soit K,, la section de F par un de ces plans. K, est 
invariante pour T et passe par quatre points invariants pour 
cette transformation; il lui correspond donc, sur ®, une 
courbe K,, rationnelle d’après la formule de Zeuthen. La sur- 
face D, de genres un, ne possédant qu’un nombre fini de 
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