L. Godeaux. — Sur les involutions cycliques d'ordre quatre 
que deux faisceaux répondant à ces conditions. Ces faisceaux sont 
done nécessairement : 
a) le faisceau formé de la courbe fixe K, et des courbes K,: 
b) le faisceau formé de la courbe fixe K, et des courbes K, 
Il'en résulte que, sur ®, le faisceau |F,| est formé de la courbe 
fixe K, et des courbes K, le faisceau |F,! de la courbe fixe K, et 
des courbes K. 
Les courbes l}, sont donc bien formées de la conique K,, et des 
droite K’. 
Ainsi donc : le cône double ® possède une courbe de dira- 
mation formée de deux quartiques tangentes en quatre points 
coplanaires. 
Le fait que ces quatre points sont coplanaires suffit d’ailleurs 
pour qu'il existe & ! courbes F,, de la nature indiquée plus haut. 
Si nous projetons le cône sur un plan quelconque d’un de ses 
points, nous obtenons un plan double birationnellement équi- 
valent au cône double ® et possédant : 
Une courbe de diramation formée de denx quartiques ayant 
en commun deux points doubles infiniment voisins O,, 0, et se 
touchant en outre en quatre points situés sur une conique pas- 
sant par O,, O.. | 

14, Construction d’un plan double du premier type. — 
Considérons, dans un espace linéaire SSL ETS D CLS CUITE 
à cinq dimensions, la surface F représentée par 
Pi (Lo; Li, de) + Ag 28 + Astyds = 0, 
De (Los as Le) + Dtà + bistis = 0, 
X30 (TX, Lis T2) + UT; FR Us AE EH 0, 
où @,, &, Sont des formes homogènes du second degré en xs, x, 
æ,; une forme linéaire homogène par rapport aux mêmes 
variables, 
La surface F est d'ordre huit et est invariante pour l’homo- 
graphie de période 4. 



