À. Lembrechts. — Sur une transformation des surfaces. 
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plan xoy. Dès lors, la courbe (M;,) est située dans un plan 
parallèle à ce plan. | 
Le réseau (u, v), tracé sur (S), étant conjugué, si v varie seul, 
la tangente MT à (M,) engendre une série réglée développable : 
or, MT est parallèle au plan des xzy; donc cette droite a une 
direction invariable. Comme M, T, et MT sont parallèles, il en 
est de même de M, T,. Par suite, sur la surface (S,) le réseau 
(u, v) est conjugué. D'autre part, les courbes v = c'° sont situées 
dans des plans parallèles à æOy, on l’a établi plus haut, et il est 
évident que les courbes u — c'° sont situées dans des plans pas- 
sant par 02. Le théorème est donc démontré. 
7. On peut généraliser la propriété précédente en effectuant 
sur la figure une transformation homographique ramenant la 
droite à l'infini du plan xoy et le point à l'infini de l’axe oz à 
distance finie; en se rappelant que cette transformation conserve 
les réseaux conjugués on obtient la propriété suivante : 
Étant données deux droites d, et d, non situées dans un même 
plan et deux points fixes À et B situés sur d,, en un point M 
d’une surface (S) on mène le plan tangent qui coupe le plan 
(A, d,) suivant une droite d.. Au point M on fait correspondre 
le point d’intersection M, du plan (B, d,) avec la droite AM: ce 
point engendre une surface (S,) quand M décrit (S). Si Les plans 
menés par d, et d, coupent (S) suivant deux familles de courbes 
conjuguées, ils détermineront également sur (S,) un réseau con- 
Jugué. 
8. Si (S) est une surface telle que les sections de (S) par des 
plans menés par ox et oy forment un réseau conjugué, la même 
propriété appartiendra à la surface correspondante (S,) définie 
au n° 4. 
Elfectuons la transformation homographique 
Eee XP NUNR ESTN EE 0 M) (4). 


