L. Godeaux. — Sur certains réseaux de courbes planes. 
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n'auront pas de racine commune ! Remarquons que si ces deux 
équations ont une racine commune a, la droite y — a x ren- 
contre la courbe C, en n — 1 points confondus à l’origine O. 
Les courbes C,, C, ont chacune un point multiple d’ordre 
n — 1 à l'origine O. Nous supposerons ces deux courbes dis- 
tinctes. 
Les courbes C,, C,, C, déterminent un réseau dont la courbe 
générique a pour équation 
À F(&, y)+XF (&, y) + XF, (x, y) — 0, (1) 
À, >, À3 étant des paramètres homogènes fixant la position de 
la courbe dans le réseau, La courbe (1) possède en général un 
point multiple d'ordre n — 3 à l’origine, les tangentes en ce 
point étant les tangentes à la courbe C;. 
Parmi les courbes du réseau se trouvent les courbes 
Pl (r, y) + BE (x, y) = 0, (2) 
formant un faisceau et ayant, à l’origine O, un point multiple 
d'ordre n — 1. 
2. En partant du réseau défini plus haut, nous allons déter- 
miner une correspondance birationnelle entre les points du plan. 
Les courbes (1) passant par un point P du plan forment en 
général un faisceau et rencontrent la droite PO en deux points 
variables. Ces couples de points forment une involution d'ordre 
deux possédant deux points de coïncidence, L'un de ces points 
tombe en O et est déterminé par la courbe (2) passant par P:; 
l'autre est fourni par une courbe (1) passant par P et tangente 
à la droite PO en un point Q (en général distinet de P et de O). 
Inversement, par un point Q du plan passe une et une seule 
courbe (1) dont la tangente en ce point passe par O. Cette 
courbe rencontre encore la droite QO en un point P en général 
distinct de Q et de O. 
Nous avons ainsi déterminé, entre les points P, Q du plan, 
une Correspondance birationnelle. 
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