64 Riebesell: Die neueren Ergebnisse der-theoretischen Physik usw. Le ae | 
rungen diese physikalischen Theorien für den tinuierlich wird. Natürlich hört die Anwend- — 
Mathematiker mit sich bringen, der bisher ge- barkeit des Taylorschen Satzes auf, aber solange k 
wohnt war, die Stetigkeit und Differenzierbar- die Anzahl der Unstetigkeitspunkte eine abzähl- 
keit seiner Funktionen und Kurven vorauszu- bare Menge darstellt, sind sie nach Borel als 
setzen, ja der den Übergang vom Diskontinuier- ‚‚quasianalytische“ Funktionen einer analig 
lichen zum Kontinuierlichen der ganzen höheren schen Darstellung fähig. ; 
Mathematik zugrunde legte. Dieselben Betrachtungen lassen sich auch — 
Sei es, daß man den Begriff des Differential- auf solche Eigenschaften der Körper über- 
quotienten arithmetisch oder geometrisch oder tragen, von denen man im allgemeinen 
physikalisch einführt, immer nimmt man an, daß annimmt, daß sie einen stetigen Verlauf 
der Übergang zur Grenze von einem kleinen, aber haben. Betrachten wir z. B. die Dichte der Luft 
endlichen Stück zum unendlich kleinen möglich in einem bestimmten Punkte. Nehmen wir eine 
ist. Daß sich hier schon bei der geometrischen Kugel von der Masse m*und dem Volumen v, SO 
Methode Schwierigkeiten bieten, sehen wir sofort, ist die Dichte als m :» definiert. Diese Dichte 
wenn wir mit Kreide eine Kurve zeichnen und kann ich nur als die mittlere Dichte bezeichnen; 
nun mit immer stärkeren Vergrößerungen an sie denn wenn sich unsere Kugel zwischen zwei Mole- 
herangehen, um in jedem Punkt die Tangente zu külen befindet, so ist die Dichte Null, und in den 
bestimmen. Daß die Stetigkeit nicht immer die Fällen, in denen die Kugel ganz oder teilweise 
Differenzierbarkeit der Kurven zur Folge hat, mit einem Molekül zusammenfällt, nimmt die 
wissen die Mathematiker seit langem, und daß Dichte Werte an, die von dem Radius der ge- 
auch die Stetigkeit der Kurven eine unzulässige dachten Kugel abhängen. Lasse ich die Kugel 
Beschränkung ist, zeigen die Kurven, die in der immer kleiner und kleiner werden, so ist im all- 
Praxis orkormmen: Im allpemieinen kann man gemeinen die Dichte Null, und nur in den seltenen 
sagen: Die Kurven, die keine Tangente besitzen, Fällen, in denen der Punkt’mit dem Kern eines 
bilden die Regel, die bisher als normal betrach- Moleküles zusammenfällt, nimmt die Dichte den 
teten die Ausnahme. Wert Unendlich an. Von einer Stetigkeit kann 
also keine Rede sein, im Gegenteil, es sind un- 
endlich viele singuläre Punkte bei der Funktion 
vorhanden, sie schwankt zwischen den Werten 
Null und Unendlich. Somit würde das Universum — 
als eine diskontinuierliche Mannigfaltigkeit er- 
scheinen, ob von unendlicher oder endlicher — 
Größe, sei dahingestellt. Die Maßverhältnisse 
müßten durch die Größe der Energieatome be- 
stimmt sein, und die universellen Konstanten: 






















Die mathematischen Betrachtungen, die sich 
an diese Frage anschlossen, schienen zunächst rein 
theoretische Bedeutung zu haben, während ihnen 
nach der Korpuskulartheorie ein eminent prak- 
tischer Wert beizumessen ist. Betrachten wir 
z. B. die Kurven, die bei der Brownschen Be- 
wegung von den kleinen Teilchen beschrieben 
werden. Sobald die gleichmäßige Energievertei- 
lung hergestellt ist, muß die kinetische Energie 
eines Teilchens eleich der eines Moleküls sein, es Plancksche Konstante, Loschmidtsche Zahl, 
ale Lichtgeschwindigkeit, Krümmungsmaß des Rau- 
4 mM. Pas ne mes müßten auf eine zurückgeführt werden — 
Sener Si a vier können. Bis dahin ist aber noch ein weiter Weg, 
: be oer a ees nicht nur in der Physik, sondern auch in der 
d. h. die Geschwindigkeit eines Teilchens Mathematik, da letztere erst anfängt, ihre Me- 


V=v-y/m thoden den diskontinuierlichen Vorgängen anzu- 
M' i passen. Mit der üblichen Infinitesimalrechnung | 
Ist das Verhältnis der Massen nun etwa 101%, kommt man nicht aus. Vorläufig müssen wir uns _ 
so wäre daher begnügen, die Naturgesetze als Gesetze des 
V=10-5.0, durchschnittlichen Verhaltens, als statistische Ge- i 
beim Wasserstoff als v etwa 2 cm in der Sekunde. setze, anzusehen, wofür die statistische Mechanik 
Diese große Geschwindigkeit ist unter dem mit der Heranziehung der Wahrscheinliehkeits- 
kleinen Gesichtsfeld ° des Mikroskops natürlich rechnung das Vorbild gegeben hat. i 
nicht zu beobachten, in Wirklichkeit finden ja Läßt man die Diskontinuität gelten, so wird 
auch in der Sekunde etwa 10° Zusammenstéfe man es in der Mathematik mit einer großen Zahl 
der Moleküle untereinander statt, und, da das von Funktionen einer Veränderlichen zu tun 
-Teilchen bedeutend größer ist als ein Molekül, haben, die der Zahl der Moleküle entspricht. Der 
werden zwischen diesem und den Molekülen noch Übergang zu einer unendlichen Anzahl solcher } 

viel mehr Stöße vorkommen. Es ist also unmög- und damit zu den Funktionen von Funktione 
lich, die wahre Bahn des Teilchens aufzuzeichnen, wie wir ihn im 2. Abschnitt bei den Integraldiff 
sie ist eine Zickzacklinie, deren geradlinige Teil- rentialgleichungen ausgeführt haben, ist nicht — 
strecken viel kleiner sind als der Durchmesser mehr zulässig. Die Zahl der Moleküle darf nicht _ 
des Teilchens. Es sind dies Kurven ohne Tan- als unendlich groß betrachtet werden, und somit, 
genten und Differentialquotienten. Gehe ich zu wie das-bisher geschah, die Molekularthegrie nicht 
unendlich vielen Stößen über, so erhalte ich Kur- vollständig aus der Mathematik ausgeschaltet 
ven, bei denen gleichsam die Diskontinuität kon- werden. ö 
